Punkt na hiperboli najbliżej prostej

[Drzewo18]

Na prawej gałęzi hiperboli \(\displaystyle{ \frac{x^2}{16}- \frac{y^2}{9}=1}\) znaleźć punkt położony najbliżej prostej \(\displaystyle{ y=x}\).

Wiem, że należy skorzystać z faktu, że punkt \(\displaystyle{ P=(x_1,y_1)}\) będzie leżał na prostej równoległej do \(\displaystyle{ y=x}\) i stycznej do hiperboli. Prosta równoległa ma równanie \(\displaystyle{ y=ax+b}\) i ma mieć punkt wspólny ze styczną \(\displaystyle{ \frac{xx_1}{16}- \frac{yy1}{9}=1}\). Tylko jaki dodać trzeci warunek, żeby nie mieć tylu niewiadomych w równaniu?

[777Lolek]

ta styczna ma równanie \(\displaystyle{ y = x+b}\) . Jak podstawisz do równania hiperboli, dostaniesz równanie kwadratowe z parametrem \(\displaystyle{ b}\) . Delta musi być nieujemna, dostajesz więc nierówność dla \(\displaystyle{ b}\) . Przy czym szukasz \(\displaystyle{ b}\) ujemnego (jeden z dwóch zbiorów jakie dostaniesz odpadnie) o najmniejszej wartości modułu (tzn chcesz od tego \(\displaystyle{ y=x}\) odjąć najmniej jak się da).-- 14 gru 2012, o 18:05 --a to \(\displaystyle{ b}\) które dostaniesz, podstawiasz do równania z iksem. I już