Trójkąt i hiperbola

Drzewo18 · Post autor: **Drzewo18** » 14 gru 2012, o 11:07

Wierzchołki trójkąta równobocznego należą do hiperboli \(\displaystyle{ x^2-y^2=4}\), przy czym jednym z nich jest wierzchołek prawej gałęzi hiperboli. Znaleźć współrzędne pozostałych wierzchołków trójkąta...
Skąd mam wiedzieć, że w tym zadaniu oś OX jest osią symetrii hiperboli i jednocześnie osią symetrii tego trójkąta?

bb314 · Post autor: **bb314** » 14 gru 2012, o 12:20

\(\displaystyle{ x^2-y^2=4\ \ \to\ \ \begin{cases} y=-\sqrt{x^2-4}\\lub\\ y=\sqrt{x^2-4} \end{cases}}\)

z tego wynika, że funkcja jest parzysta, tzn, ma takie same wartości dla argumentów ujemnych jak dla dodatnich, czyli oś 0Y jest osią symetrii wykresu

\(\displaystyle{ x^2-y^2=4\ \ \to\ \ \begin{cases} x=-\sqrt{y^2+4}\\lub\\ x=\sqrt{y2+4} \end{cases}}\)

z tego wynika, że x przyjmuje takie same wartości dla y dodatnich i ujemnych, czyli oś 0X jest osią symetrii wykresu

czekoladowy · Post autor: **czekoladowy** » 14 gru 2012, o 12:28

bb314 pisze:\(\displaystyle{ x^2-y^2=4\ \ \to\ \ \begin{cases} y=-\sqrt{x^2-4}\\lub\\ y=\sqrt{x^2-4} \end{cases}}\)

z tego wynika, że funkcja jest parzysta, tzn, ma takie same wartości dla argumentów ujemnych jak dla dodatnich, czyli oś 0Y jest osią symetrii wykresu

Podstawiając \(\displaystyle{ y \rightarrow (-y)}\) otrzymujemy równanie równoważne, stąd wniosek z osią symetrii.

Drzewo18 · Post autor: **Drzewo18** » 14 gru 2012, o 17:11

Dobra, już to rozumiem Tylko że dalej w rozwiązaniu piszą, że prosta AB ma równanie \(\displaystyle{ y=-\frac{\sqrt3}{3}(x-2)}\), gdzie A jest wierzchołkiem prawej gałęzi hiperboli, a B innym wierzchołkiem trójkąta leżącym na hiperboli. Wiem, że \(\displaystyle{ -\frac{\sqrt3}{3}}\) to nachylenie prostej i wzięło się stąd, że \(\displaystyle{ -\frac{\sqrt3}{3}=tg\frac{5}{6}\pi}\), bo taki jest kąt między tym odcinkiem a osią X. Tylko skąd się wzięło \(\displaystyle{ (x-2)}\)?

bb314 · Post autor: **bb314** » 14 gru 2012, o 19:58

Skoro współczynnik kierunkowy tej prostej \(\displaystyle{ a=tg\alpha=-\frac{\sqrt3}{3}}\), to jej równanie ma postać
\(\displaystyle{ y=-\frac{\sqrt3}{3}x+k}\)

przechodzi ona przez punkt \(\displaystyle{ A(2,0)}\), więc
\(\displaystyle{ 0=-\frac{\sqrt3}{3}\cdot2+k\ \ \ \to\ \ \ k=\frac{2\sqrt3}{3}}\)

i równanie prostej wygląda tak
\(\displaystyle{ y=-\frac{\sqrt3}{3}x+\frac{2\sqrt3}{3}=-\frac{\sqrt3}{3}(x-2)}\)