zadania z okręgiem

[davidd]

1. Dany jest okrąg o \(\displaystyle{ S(-3,-2)}\) i \(\displaystyle{ r= 4}\). Wyznacz równanie okręgu symetrycznego:

a) względem punktu \(\displaystyle{ A(0,2)}\)
b) względem prostej \(\displaystyle{ y= -3x-1}\)

a) \(\displaystyle{ (x-3) ^{2} + (y-6) ^{2} = 16}\)
dobrze?

b) Narysowałem sobie i wyznaczyłem prostą przechodzącą przez \(\displaystyle{ S _{1}}\) i \(\displaystyle{ S _{2}}\) czyli \(\displaystyle{ y= \frac{1}{3}x - 1}\)

Dwie proste porównałem do siebie i wyszedł ich punkt przecięcia \(\displaystyle{ M(0,-1)}\)
Jak licze z wektorów, to \(\displaystyle{ S _{2}}\) mam w tym samym punkcie, co \(\displaystyle{ S _{1}}\) więc coś źle...

2. Okrąg o \(\displaystyle{ S(-1,0)}\) i \(\displaystyle{ r=3}\) przesuwamy równolegle o wektor \(\displaystyle{ v= [3,0]}\) otrzymując okrąg\(\displaystyle{ O _{2}}\)
a) napisz równanie powstałego okręgu
b) oblicz pole powstałej figury, którą zakreśla dany okrąg i jego obraz jako elementy wspólne.

a) \(\displaystyle{ O _{2}}\): \(\displaystyle{ (x-2) ^{2} + y ^{2} = 9}\)

b) \(\displaystyle{ P = \pi r ^{2} = 9 \pi}\)

Nie wiem tylko jak znaleźć pole figury \(\displaystyle{ O _{1} \cap O _{2}}\)

[777Lolek]

1. a) dobrze
b) Punkt przecięcia jest równo odległy od punktów \(\displaystyle{ S_1}\) i \(\displaystyle{ S_2}\)

2. a) dobrze
b) układ nierówności - wspólna część kół zakreślonych przez te okręgi.

[davidd]

1. b) no właśnie tak liczyłem z wektorów i wychodzi mi \(\displaystyle{ S _{2}}\) jak \(\displaystyle{ S _{1}}\)

2. b) czyli \(\displaystyle{ (x+1) ^{2} + y ^{2} \le 9 \wedge (x-2) ^{2} + y ^{2} \ge 9}\) ?

[anna_]

zadania z okręgiem - zadanie 3.png (10.77 KiB) Przejrzano 569 razy

Część wspólna to ta kolorowa.

\(\displaystyle{ SS_1A}\) to trójkat równoboczny o boku \(\displaystyle{ 3}\)
Policz pole tego trójkąta.
Potem policz pole wycinka koła o kącie \(\displaystyle{ 60^o}\) i pole odcinka koła.

Pole szukanej figury to dwa pola trójkąta + \(\displaystyle{ 4}\) pola odcinków koła
lub
\(\displaystyle{ 2}\) pola wycinkow koła + \(\displaystyle{ 2}\) pola odcinków koła

[davidd]

Pole trójkąta to \(\displaystyle{ \frac{9 \sqrt{3} }{4}}\) .
Mam jednak problem z tymi wycinakmi, odcinkami.
Wycinek to zaznaczona przestrzeń na zewnątrz trójkąta. Dlaczego ma on \(\displaystyle{ 60^o}\)?

[777Lolek]

zobacz na jakich ramionach jest oparty

-- 12 gru 2012, o 21:28 --

1. b) no właśnie tak liczyłem z wektorów i wychodzi mi \(\displaystyle{ S _{2}}\) jak \(\displaystyle{ S _{1}}\)

2. b) czyli \(\displaystyle{ (x+1) ^{2} + y ^{2} \le 9 \wedge (x-2) ^{2} + y ^{2} \ge 9}\) ?

1. b) pokaż jak to robisz. Pewnie zaczepiasz źle któryś wektor;)
2. b)

\(\displaystyle{ \begin{cases} (x+1) ^{2} + y ^{2} \le 9\\ (x-2) ^{2} + y ^{2} \le 9 \end{cases}}\)

edit. chociaż w sumie to głupie. Tzn nie wime jak można rozwiązać ten układ i on w sumie nie da pola powierzchni

[anna_]

Wycinek to część koła.
A trójkąt równoboczny na kat ostry równy \(\displaystyle{ 60^o}\)
Odcinek będzie na zewnątrz trójkąta.

[davidd]

No racja. Czyli pole odcinka to będzie pole wycinka odjąć pole trójkąta.
tylko jak obliczyć pole wycinka o kącie \(\displaystyle{ 60^o}\)? Tutaj mam problem

[anna_]

Kod: Zaznacz cały

http://pl.wikipedia.org/wiki/Wycinek_kołowy

Albo po prostu \(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\) pola koła (bo kąt miał \(\displaystyle{ 60^o}\), a całe koło ma \(\displaystyle{ 360^o}\))

[davidd]

Jeszcze mam problem z takimi zadaniami:
1. Prosta \(\displaystyle{ 2x-y-5=0}\) przecina okrąg o \(\displaystyle{ S(2,4)}\) w punktach \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\). Długość cięciwy \(\displaystyle{ AB}\) wynosi \(\displaystyle{ 4 \sqrt{5}}\) . Wyznacz równanie okręgu.

Brakuje promienia. Nie wiem jak go wyznaczyć

2. Uzasadnij, że układ równań:

\(\displaystyle{ (x-3) ^{2} + (y+2)^{2} = 5}\)
\(\displaystyle{ (x-1)^{2} + y^{2} = 1}\)

posiada 2 rozwiązania.
Czyli te dwa okręgi muszą mieć 2 punkty wspólne. Nie bardzo wiem jak je znaleźć...

3. Dane są okręgi:
\(\displaystyle{ (x-4)^{2} + y^{2} = 9}\)
\(\displaystyle{ (x-m)^{2} + y^{2} = 4}\)

Dla jakich \(\displaystyle{ m}\) okręgi mają dokładnie 1 punkt wspólny?
Czyli okręgi muszą być styczne. Trzeba znaleźć punkt, w którym są styczne?

[anna_]

2.
\(\displaystyle{ S_1}\) - współrzędne środka pierwszego okręgu
\(\displaystyle{ S_2}\) - współrzędne środka drugiego okręgu

liczysz
\(\displaystyle{ |S_1S_2|}\)
jeżeli
\(\displaystyle{ |r_1-r_2|<|S_1S_2|<r_1+r_2}\)
to okręgi będą się przecinały

3.
Tutaj chyba szybciej będzie z deltą
\(\displaystyle{ (x-4)^{2} + y^{2} = 9 \Rightarrow y^2=9-(x-4)^{2}}\)
podstawiasz
\(\displaystyle{ (x-m)^{2} +9-(x-4)^{2}= 4}\)

opuśc nawiasy, uprość, policz deltę i rozwiąż równanie:
\(\displaystyle{ \Delta=0}\)

-- dzisiaj, o 22:25 --

1.

\(\displaystyle{ 2x-y-5=0 \Rightarrow y=2x-5}\)
Punkty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) należą do prostej, więc ich współrzędne są postaci:
\(\displaystyle{ A(x_1,2x_1-5)}\)
\(\displaystyle{ B(x_2,2x_2-5)}\)
\(\displaystyle{ |AB|= \sqrt{(x_2-x_1)^2+[(2x_2-5)-(2x_1-5)]^2} =4 \sqrt{5}}\)

\(\displaystyle{ r=|SA|=|SB|}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{(x_1-2)^2+(2x_1-5-4)^2} = \sqrt{(x_2-2)^2+(2x_2-5-4)^2}}\)

Musisz rozwiązać układ
\(\displaystyle{ \begin{cases} \sqrt{(x_2-x_1)^2+[(2x_2-5)-(2x_1-5)]^2} =4 \sqrt{5} \\ \sqrt{(x_1-2)^2+(2x_1-5-4)^2} = \sqrt{(x_2-2)^2+(2x_2-5-4)^2} \end{cases}}\)

[davidd]

Wróciłem do tych zadań dziś i mam problem z 2.

wychodzi mi:
\(\displaystyle{ \left| S _{1} S _{2} \right| = 2 \sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ \left| r _{1} - r _{2} \right| = \left| \sqrt{5} - 1\right| = \sqrt{5} + 1}\)

Nierówności na podstawie tych danych wychodzą mi sprzeczne, czyli nic nie uzasadniłem póki co.

[anna_]

2.
\(\displaystyle{ (x-3) ^{2} + (y+2)^{2} = 5}\)
\(\displaystyle{ (x-1)^{2} + y^{2} = 1}\)

\(\displaystyle{ |S_1S_2|=2 \sqrt{2}\approx 2,83}\)
\(\displaystyle{ r_1= \sqrt{5}}\)
\(\displaystyle{ r_2=1}\)

\(\displaystyle{ |r_1-r_2|=| \sqrt{5}-1 |= \sqrt{5}-1 \approx1,24}\)

\(\displaystyle{ r_1+r_2= \sqrt{5}+1 \approx3,24}\)

\(\displaystyle{ 1,24<2,83<3,24}\)

czyli \(\displaystyle{ |r_1-r_2|<|S_1S_2|<r_1+r_2}\)
Okręgi mają dwa punkty wspólne