Proszę o pomoc w zrobieniu zadania. Znaleźć kąt między prostymi:
\(\displaystyle{ l_1: \ x=2t, y=1-t,z=7 \\
l2: \ x-6y-6z+2=0 , 2x+2y+9z-1=0}\)
Kąt miedzy prostymi
Kąt miedzy prostymi
Ostatnio zmieniony 12 gru 2012, o 14:23 przez pyzol, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
- mlody3k
- Użytkownik
- Posty: 79
- Rejestracja: 1 mar 2012, o 01:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 3city
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 24 razy
Kąt miedzy prostymi
Kod między prostymi to nic innego jak kąt między ich wektorami kierunkowymi. Wektor pierwszej prostej dostajesz "za darmo". Jest to \(\displaystyle{ N_1=[2,-1,0]}\). Wektor kierunkowy drugiej można znaleźć na dwa sposoby:
1) Przejść do postaci parametrycznej albo ogólnej i stamtąd ściągnąć go również "za darmo".
2) Uświadomić sobie, że prosta \(\displaystyle{ l_2}\) jest przedstawiona w postaci przecięcia dwóch płaszczyzn \(\displaystyle{ \pi_1:x-6y-6x+2=0}\) i \(\displaystyle{ \pi_2:2x+2y-9z-1=0}\). Zatem wektor kierunkowy prostej jest równoległy do iloczynu skalarnego wektorów normalnych tych płaszczyzn. I tę właśnie metodę bym proponował.
Czyli mamy wektory kierunkowe płaszczyzn \(\displaystyle{ \pi_1}\) i \(\displaystyle{ \pi_2}\):
\(\displaystyle{ S_1=[1,-6,6];\ \ S_2=[2,2,-9]}\)
Liczymy iloczyn skalarny:
\(\displaystyle{ S_1 \times S_2= \left| \begin{tabular}{ccc} $\vec{i}$ & $\vec{j}$ & $\vec{k}$\\ 1 & -6 & 6 \\ 2 & 2 & -9\end{tabular}\right|=42\vec{i}-21\vec{j}+14\vec{k}.}\)
Możemy zatem jako \(\displaystyle{ N_2}\) wziąć dowolny wektor równoległy do \(\displaystyle{ S_1\times S_2}\). Dla uproszczenia weźmy \(\displaystyle{ N_2=6\vec{i}-3\vec{j}+2\vec{k}=[6,-3,2]}\)
I teraz nie pozostaje nic innego jak tylko skorzystać ze wzoru na kąt między wektorami, a jest to, o ile dobrze pamiętam:
\(\displaystyle{ \varphi=\arccos\frac{|N_1\cdot N_2|}{|N_1|\cdot |N_2|}}\)
1) Przejść do postaci parametrycznej albo ogólnej i stamtąd ściągnąć go również "za darmo".
2) Uświadomić sobie, że prosta \(\displaystyle{ l_2}\) jest przedstawiona w postaci przecięcia dwóch płaszczyzn \(\displaystyle{ \pi_1:x-6y-6x+2=0}\) i \(\displaystyle{ \pi_2:2x+2y-9z-1=0}\). Zatem wektor kierunkowy prostej jest równoległy do iloczynu skalarnego wektorów normalnych tych płaszczyzn. I tę właśnie metodę bym proponował.
Czyli mamy wektory kierunkowe płaszczyzn \(\displaystyle{ \pi_1}\) i \(\displaystyle{ \pi_2}\):
\(\displaystyle{ S_1=[1,-6,6];\ \ S_2=[2,2,-9]}\)
Liczymy iloczyn skalarny:
\(\displaystyle{ S_1 \times S_2= \left| \begin{tabular}{ccc} $\vec{i}$ & $\vec{j}$ & $\vec{k}$\\ 1 & -6 & 6 \\ 2 & 2 & -9\end{tabular}\right|=42\vec{i}-21\vec{j}+14\vec{k}.}\)
Możemy zatem jako \(\displaystyle{ N_2}\) wziąć dowolny wektor równoległy do \(\displaystyle{ S_1\times S_2}\). Dla uproszczenia weźmy \(\displaystyle{ N_2=6\vec{i}-3\vec{j}+2\vec{k}=[6,-3,2]}\)
I teraz nie pozostaje nic innego jak tylko skorzystać ze wzoru na kąt między wektorami, a jest to, o ile dobrze pamiętam:
\(\displaystyle{ \varphi=\arccos\frac{|N_1\cdot N_2|}{|N_1|\cdot |N_2|}}\)