Na prostej o równaniu \(\displaystyle{ y = x - 8}\) znajdź punkt p taki że długość odcinka stycznej poprowadzonej z punktu P do okręgu \(\displaystyle{ x^{2} + y^{2} -14x + 2y + 14 = 0}\) jest dwa razy większa od odległości punktu P od okręgu.
No więc rozrysowałam sobie wszystko, wiem że będą cztery styczne czyli dwa takie punkty P na tej prostej, policzyłam środek, promień i punkty przecięcia się prostej z okręgiem. Dalej próbowałam szukać punktów przez układanie równań [np odledłość punktów na okręgu do środka jest równa promieniowi] ale zawsze mam za dużo niewiadomych...
Bardzo proszę o pomoc !
znajdź punkt P
-
777Lolek
- Użytkownik
- Posty: 1053
- Rejestracja: 20 wrz 2012, o 15:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: podWarszawie
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 208 razy
znajdź punkt P
niech \(\displaystyle{ E}\) to będzie ten punkt na prostej i na okręgu, najmniej odległy od punktu \(\displaystyle{ P}\). Zapewne dostałe/aś (używasz formy "policzyłam" mając zaznaczoną płeć męską w profilu ) dwie możliwości:
\(\displaystyle{ E = \left(3\sqrt{2} + 7; 3\sqrt{2} - 1\right) \vee E = \left(-3\sqrt{2} + 7; -3\sqrt{2} - 1\right)}\)
No i rzeczywiście.. wygląda na to jakoby było tutaj za mało danych. Po brzydkich przekształceniach doszedłem do czegoś takiego (przyjmując \(\displaystyle{ F}\) - punkt w którym styczna dotyka okręgu).
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_P^2 + x_Px_F - (20 \pm 6\sqrt{2})x_P - 7y_F + x_Py_F + 66 \mp 60\sqrt{2} = 0\\ x_F^2 + y_F^2 - 14x_F + 2y_F + 14 = 0 \end{cases}}\)
no i można z teog dojść do jednego równania z \(\displaystyle{ x_F}\) oraz \(\displaystyle{ x_P}\) , ale chyba nic więcej Ewentualnie mogłem się pomylić w rachunkach ale wniosek myślę pozostałby ten sam.
Może spróbuj skorzystać z faktu, iż punkty \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ F}\) leżą na stycznej, tzn \(\displaystyle{ y_{P,F} = ax_{P,F} + b}\)
do tego dokładając fakt, że \(\displaystyle{ y_P = x_P - 8}\) . Można dojść że \(\displaystyle{ x_P = \frac{b+8}{1-a}}\) oraz że \(\displaystyle{ y_P = \frac{8a + b}{1-a}}\) . Te współczynniki \(\displaystyle{ a,b}\) to współczynniki prostej przechodzącej przez punkty \(\displaystyle{ F,P}\) .
\(\displaystyle{ E = \left(3\sqrt{2} + 7; 3\sqrt{2} - 1\right) \vee E = \left(-3\sqrt{2} + 7; -3\sqrt{2} - 1\right)}\)
No i rzeczywiście.. wygląda na to jakoby było tutaj za mało danych. Po brzydkich przekształceniach doszedłem do czegoś takiego (przyjmując \(\displaystyle{ F}\) - punkt w którym styczna dotyka okręgu).
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_P^2 + x_Px_F - (20 \pm 6\sqrt{2})x_P - 7y_F + x_Py_F + 66 \mp 60\sqrt{2} = 0\\ x_F^2 + y_F^2 - 14x_F + 2y_F + 14 = 0 \end{cases}}\)
no i można z teog dojść do jednego równania z \(\displaystyle{ x_F}\) oraz \(\displaystyle{ x_P}\) , ale chyba nic więcej Ewentualnie mogłem się pomylić w rachunkach ale wniosek myślę pozostałby ten sam.
Może spróbuj skorzystać z faktu, iż punkty \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ F}\) leżą na stycznej, tzn \(\displaystyle{ y_{P,F} = ax_{P,F} + b}\)
do tego dokładając fakt, że \(\displaystyle{ y_P = x_P - 8}\) . Można dojść że \(\displaystyle{ x_P = \frac{b+8}{1-a}}\) oraz że \(\displaystyle{ y_P = \frac{8a + b}{1-a}}\) . Te współczynniki \(\displaystyle{ a,b}\) to współczynniki prostej przechodzącej przez punkty \(\displaystyle{ F,P}\) .
-
777Lolek
- Użytkownik
- Posty: 1053
- Rejestracja: 20 wrz 2012, o 15:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: podWarszawie
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 208 razy
znajdź punkt P
pokombinowałbym jeszcze z bokami \(\displaystyle{ EF}\) , \(\displaystyle{ ES}\) , \(\displaystyle{ FS}\) , \(\displaystyle{ PE}\) i \(\displaystyle{ PF}\) . Może będą jakieś dające coś trójkąty, kąty..
Ale to nie na mą głowę w tym tygodniu.
Ale to nie na mą głowę w tym tygodniu.