Równania płaszczyzny

[karnawon]

1. Przez pkt. \(\displaystyle{ A(2,-1,1)}\) poprowadź płaszczyznę prostopadłą do
płaszczyzn \(\displaystyle{ 2x-z+1=0 \ \ y=0}\)
2. Przedstaw płaszczyzny w postaci parametrycznej \(\displaystyle{ 6x+2y-z-9=0 \ \ 3x+2y+2z-12=0}\)

[Koryfeusz]

1) Równanie ogólne płaszczyzny to \(\displaystyle{ Ax+By+Cz+D=0}\) i wtedy wektor \(\displaystyle{ n=[A \ B \ C]}\) jest wektorem prostopadłym do niej. W tym zadaniu trzeba znaleźć równanie płaszczyzny, której wektor normalny \(\displaystyle{ n=[A \ B \ C]}\) jest prostopadły do wektorów normalnych dwóch danych płaszczyzn, tj. \(\displaystyle{ n_{1}=[2 \ 0 \ -1] \ n_{2}=[0 \ 1 \ 0]}\). Warunkiem prostopadłości tych wektorów jest zerowanie się ich iloczynu skalarnego, z czego dostajemy układ dwóch równań na elementy wektora \(\displaystyle{ n}\):

\(\displaystyle{ n \cdot n_{1} = A \cdot 2 +B \cdot 0 + C \cdot (-1) = 2A-C = 0 \Rightarrow C=2A \\
n \cdot n_{2} = A \cdot 0 + B\cdot 1 + C \cdot 0 = 0 \Rightarrow B=0}\)

Stąd dostajemy współrzędne wektora n wyrażone przez parametr A: \(\displaystyle{ n=[A \ 0 \ 2A]}\)

Trzecie równanie dostajemy podstawiając współrzędne punktu \(\displaystyle{ (2,-1,1)}\) do równania ogólnego szukanej płaszczyzny i wykorzystując otrzymane wcześniej zależności pomiędzy współrzędnymi wektora \(\displaystyle{ n}\):

\(\displaystyle{ 2A-B+C+D=0 \Rightarrow D = -4A}\)

Teraz podstawiamy współrzędne tego wektora do równania płaszczyzny przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ (2,-1,1)}\) i dostajemy:

\(\displaystyle{ A(x-2)+0(y-1)+2A(z-1)-4A=0 \Rightarrow x-2+2z-2-4=0 \Leftrightarrow x+2z-8=0}\)

2) Równanie parametryczne płaszczyzny ma postać:

\(\displaystyle{ \begin{cases}
x=x_{0}+at
\\
y=y_{0}+bt
\\
z=z_{0}+ct
\end{cases}}\)

gdzie punkt \(\displaystyle{ (x_{0},y_{0},z_{0})}\) jest dowolnym punktem należącym do tej płaszczyzny. Weźmy płaszczyznę o równaniu \(\displaystyle{ 6x+2y-z-9=0}\). Nietrudno sprawdzić, że na przykład punkt \(\displaystyle{ (1,1,-1)}\) należy do tej płaszczyzny. Teraz trzeba jeszcze znaleźć nieznane współczynniki \(\displaystyle{ a,b,c}\) jej równania parametrycznego. Robimy to podstawiając współrzędne tego równania do równania ogólnego tej płaszczyzny i wtedy dostajemy:

\(\displaystyle{ 6+6at+2+2bt+1-ct-9=6at+2bt-ct=t(6a+2b-c)=0 \Rightarrow 6a+2b-c=0}\)

Mając warunek na nieznane parametry \(\displaystyle{ a,b,c}\) dobieramy je dowolne tak, aby go spełniały. Weźmy więc na przykład \(\displaystyle{ a=1, b=-2, c=2}\). Ostatecznie równanie parametryczne tej płaszczyzny ma postać:

\(\displaystyle{ \begin{cases}
x=1+t
\\
y=1-2t
\\
z=1+2t
\end{cases}}\)