równanie okręgu

[dzun]

Witam,
proszę o rozwiązanie tego zadania i wytłumaczenie co i jak:
Dane są punkty A = (2,0), B = (1,2), C = (2,4)
a) wyznacz równanie okręgu opisanego na trójkącie ABC
b) wyznacz równanie okręgu symetrycznego do danego okręgu względem prostej l: \(\displaystyle{ y = frac{1}{2}x - 3}\)

[piasek101]

Środek leży na prostej \(\displaystyle{ y=2}\) w takiej samej odległości od danych punktów.

[chris_f]

Niech szukany okrąg ma równanie \(\displaystyle{ (x-a)^2+(y-b)^2=r^2}\). Okrąg ma przechodzić przez punkty \(\displaystyle{ A,B,C}\) dlatego
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}
(2-a)^2+(0-b)^2=r^2\\
(1-a)^2+(2-b)^2=r^2\\
(2-a)^2+(4-b)^2=r^2\end{array}\right.}\)

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}
4-4a+a^2+b^2=r^2\\
1-2a+a^2+4-4b+b^2=r^2\\
4-4a+a^2+16-8b+b^2=r^2\end{array}\right.}\)

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}
1-2a+a^2+4-4b+b^2=4-4a+a^2+b^2\\
4-4a+a^2+16-8b+b^2=4-4a+a^2+b^2\end{array}\right.}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}
1+2a-4b=0\\
16-8b=0\Rightarrow b=2\end{array}\right.}\)
\(\displaystyle{ 2a=7\Rightarrow a=\frac72}\)
\(\displaystyle{ 4-4\cdot\frac72+\frac{49}{4}+4=r^2}\)
\(\displaystyle{ -6+\frac{49}{4}=r^2}\)
\(\displaystyle{ r^2=\frac{25}{4}}\)
Równanie okręgu
\(\displaystyle{ \left(x-\frac72\right)^2+\left(y-2\right)^2=\frac{25}{4}}\)

Można to było zrobić jeszcze na kilka innych sposobów, ten jest pracochłonny, ale zawsze skuteczny, nie zawsze daje się "coś tam" ładnie zauważyć.

[dzun]

jeszcze pytanko odnośnie podpunktu b) wyznacz równanie okręgu symetrycznego do danego okręgu względem prostej l: \(\displaystyle{ y = \frac{1}{2}x - 3}\) jak mam to zrobić?

[chris_f]

Aby znaleźć równanie okręgu symetrycznego względem jakiejś prostej, wystarczy znaleźć środek tego okręgu (bo promień musi pozostać taki sam). A zatem problem sprowadza się do znalezienia obrazu środka \(\displaystyle{ \left(\frac72,2\right)}\) w symetrii względem danej prostej \(\displaystyle{ y=\frac12x-3}\).
Można to zrobić na wiele sposobów, zrobię to po swojemu.
Najpierw znajdę równanie prostej prostopadłej do danej przechodzącej przez środek okręgu. Jej współczynnik kierunkowy musi spełniać warunek \(\displaystyle{ a\cdot\frac12=-1}\) skąd mamy \(\displaystyle{ a=-2}\). Skoro ta prosta ma przechodzić przez środek, to podstawiamy współrzędne środka do równania prostej i dostajemy
\(\displaystyle{ 2=-2\cdot\frac72+b}\)
\(\displaystyle{ b=9}\)
czyli szukana prosta ma równanie \(\displaystyle{ y=-2x+9}\).
Punkt przecięcia się tej prostej i danej wyznaczymy z układu równań
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}y=-2x+9\\y=\frac12x-3\end{array}\right.}\)
\(\displaystyle{ -2x+9=\frac12x+3}\)
\(\displaystyle{ -\frac52x=-6}\)
\(\displaystyle{ p=
\(\displaystyle{ x=\frac{12}{5}}\)
no i dalej \(\displaystyle{ y=-2\cdot\frac{12}{5}+9=\frac{21}5}\)
No i teraz niech szukany środek ma współrzędne \(\displaystyle{ (p,q)}\). Wtedy znaleziony punkt przecięcia jest środkiem odcinka pomiędzy środkami okręgów, a zatem
\(\displaystyle{ \frac{\frac72+p}{2}=\frac{12}{5},\ \frac{2+q}{2}=\frac{21}{5}}\)
Stąd wyliczamy
\(\displaystyle{ p=\frac{24}{5}-\frac72,\ q=\frac{42}{5}-2}\)
\(\displaystyle{ p=-\frac{22}{10}\, q=\frac{32}{5}}\)
No i teraz piszemy równanie okręgu.

PS. Sprawdź rachunki, bo wszystko liczyłem w pamięci, więc łatwo o pomyłkę.}\)