styczność okręgu

[dzun]

Witam,
proszę o rozwiązanie tego zadania i wytłumaczenie co i jak:
Okrąg jest styczny do obu osi układu współrzędnych i przechodzi przez punkt A = (-2, -9)
a) wyznacz równanie tego okręgu
b) wyznacz cosinus kąta ASB, gdzie S jest środkiem okręgu, zaś B jest punktem styczności okręgu z osią OY w przypadku mniejszego okręgu spełniającego warunki zadania

[chris_f]

Niech promień szukanego okręgu wynosi \(\displaystyle{ r}\). Ponieważ ma być styczny do obu osi układu współrzędnych i przechodzić przez punkt leżący w trzeciej ćwiartce, to współrzędne środka muszą być równe \(\displaystyle{ (-r,-r)}\). A zatem jego równanie będzie miało postać
\(\displaystyle{ (x+r)^2+(y+r)^2=r^2}\)
Okrąg ma przechodzić przez punkt \(\displaystyle{ A}\), zatem podstawiamy współrzędne punktu i otrzymujemy
\(\displaystyle{ (-2+r)^2+(-9+r)^2=r^2}\)
\(\displaystyle{ 4-4r+r^2+81-18r+r^2=r^2}\)
\(\displaystyle{ r^2-22r+85=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=484-340=144}\)
\(\displaystyle{ r_1=\frac{22-12}{2}=5\ r_2=\frac{22+12}{2}=17}\)
Mamy zatem dwa takie okręgi
\(\displaystyle{ (x+5)^2+(y+5)^2=25}\) i \(\displaystyle{ (x+17)^2+(y+17)^2=289}\)

Punkt styczności mniejszego okręgu z osią \(\displaystyle{ Oy}\) ma współrzędne \(\displaystyle{ B=(0,-5)}\).
Obliczamy współrzędne wektorów
\(\displaystyle{ \vec{SA}=[3,-4],\ \vec{SB}=[5,0]}\)
Obliczamy iloczyn skalarny
\(\displaystyle{ \vec{SA}\circ\vec{SB}=3\cdot5+(-4)\cdot0=15}\)
i długości obu wektorów
\(\displaystyle{ |\vec{SA}|=\sqrt{9+16}=5,\ |\vec{SB}|=\sqrt{25+0}=5}\)
i ze wzoru
\(\displaystyle{ \cos\angle(\vec{SA},\vec{SB})=\frac{15}{5\cdot5}=\frac{15}{25}=\frac35}\)

[johnbydle]

Niech promień szukanego okręgu wynosi \(\displaystyle{ r}\). Ponieważ ma być styczny do obu osi układu współrzędnych i przechodzić przez punkt leżący w trzeciej ćwiartce, to współrzędne środka muszą być równe \(\displaystyle{ (-r,-r)}\). A zatem jego równanie będzie miało postać
\(\displaystyle{ (x+r)^2+(y+r)^2=r^2}\)
Okrąg ma przechodzić przez punkt \(\displaystyle{ A}\), zatem podstawiamy współrzędne punktu i otrzymujemy
\(\displaystyle{ (-2+r)^2+(-9+r)^2=r^2}\)
\(\displaystyle{ 4-4r+r^2+81-18r+r^2=r^2}\)
\(\displaystyle{ r^2-22r+85=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=484-340=144}\)
\(\displaystyle{ r_1=\frac{22-12}{2}=5\ r_2=\frac{22+12}{2}=17}\)
Mamy zatem dwa takie okręgi
\(\displaystyle{ (x+5)^2+(y+5)^2=25}\) i \(\displaystyle{ (x+17)^2+(y+17)^2=289}\)

Punkt styczności mniejszego okręgu z osią \(\displaystyle{ Oy}\) ma współrzędne \(\displaystyle{ B=(0,-5)}\).
Obliczamy współrzędne wektorów
\(\displaystyle{ \vec{SA}=[3,-4],\ \vec{SB}=[5,0]}\)
Obliczamy iloczyn skalarny
\(\displaystyle{ \vec{SA}\circ\vec{SB}=3\cdot5+(-4)\cdot0=15}\)
i długości obu wektorów
\(\displaystyle{ |\vec{SA}|=\sqrt{9+16}=5,\ |\vec{SB}|=\sqrt{25+0}=5}\)
i ze wzoru
\(\displaystyle{ \cos\angle(\vec{SA},\vec{SB})=\frac{15}{5\cdot5}=\frac{15}{25}=\frac35}\)

[chris_f]

@johnbydle Nie bardzo rozumiem, o co Ci chodzi? Zacytowałeś mój post, i ???

[dzun]

chris_f, co daje ten iloczyn skalarny, po co on jest?

[chris_f]

Aby obliczyć cosinus kąta pomiędzy wektorami, trzeba skorzystać z jakiegoś wzoru. Punktem wyjścia jest wzór na iloczyn skalarny dwóch wektorów:
\(\displaystyle{ \vec{u}\circ\vec{v}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\angle(\vec{a},\vec{b})}\).
Z tej definicji iloczynu skalarnego wyprowadza się wzór na cosinus kąta między wektorami
\(\displaystyle{ \cos\angle(\vec{a},\vec{b})=\frac{\vec{a}\circ\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}}\)
Ale w geometrii analitycznej iloczyn skalarny dwóch wektorów \(\displaystyle{ \vec{a}=[a_1,a_2],\ \vec{b}=[b_1,b_2]}\) wynosi
\(\displaystyle{ \vec{a}\circ\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2}\).
No i stąd wszystkie te rachunki.