Równanie ogólne płaszczyzny 4

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
kammil9
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 174
Rejestracja: 5 maja 2011, o 14:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kalisz
Podziękował: 17 razy

Równanie ogólne płaszczyzny 4

Post autor: kammil9 »

Przepraszam że zawracam głowę ostatnie pytanie :/
Napisać równanie ogólne płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\) mając dane
\(\displaystyle{ \pi}\) zawiera prostą \(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x=4t-1\\y=-3t-1\\z=t\end{array}\right.}\)
i jej równoległej do prostej \(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x=4t-2\\y=3t+3\\z=2t\end{array}\right.}\)

Jak zrobić, tak trudne zadanie z parametrami, pomógłby mi ktoś z tym zadaniem
chris_f
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2727
Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: podkarpacie
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 945 razy

Równanie ogólne płaszczyzny 4

Post autor: chris_f »

Skoro płaszczyzna ma być równoległa do prostej
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x=4t-2\\y=3t+3\\z=2t\end{array}\right.}\)
to wektor kierunkowy prostej będzie jednym z wektorów leżących w tej płaszczyźnie. Mamy więc wektor \(\displaystyle{ \vec{u}=[4,3,2]}\) leżący w płaszczyźnie.
Drugi wektor znajdziemy wyznaczając dwa punkty z pierwszej prostej, leżącej w płaszczyźnie.
Wybieramy dwie dowolne wartości \(\displaystyle{ t}\) i dostajemy:
dla \(\displaystyle{ t=0}\) mamy punkt \(\displaystyle{ P(-1,-1,0)}\)
dla \(\displaystyle{ t=1}\) mamy punkt \(\displaystyle{ Q(3,-4,1)}\)
Znajdujemy wektor \(\displaystyle{ \vec{v}=\vec{PQ}=[4,-3,1]}\), który leży w płaszczyźnie.
Iloczyn wektorowy
\(\displaystyle{ \vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}=[9,4,-24]}\)
który jest prostopadły do szukanej płaszczyzny, a zatem jest jej wektorem normalnym. Dlatego równanie szukanej płaszczyzny ma postać
\(\displaystyle{ 9x+4y-24z+D=0}\)
Podstawiamy współrzędne np. punktu \(\displaystyle{ P}\) i dostajemy
\(\displaystyle{ -9-4+D=0}\)
skąd \(\displaystyle{ D=13}\) i szukane równanie ma postać
\(\displaystyle{ 9x+4y-24z+13=0}\)
lukasz1804
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4438
Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1313 razy

Równanie ogólne płaszczyzny 4

Post autor: lukasz1804 »

Poszukujemy równania płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\) postaci \(\displaystyle{ Ax+By+Cz+D=0}\) dla pewnych \(\displaystyle{ A,B,C,D\in\RR, A^2+B^2+C^2>0}\).
Skoro płaszczyzna \(\displaystyle{ \pi}\) zawiera pierwszą prostą, to równanie \(\displaystyle{ A(4t-1)+B(-3t-1)+Ct+D=0}\) z niewiadomą \(\displaystyle{ t}\) ma nieskończenie wiele rozwiązań. Mamy jednak \(\displaystyle{ 0=A(4t-1)+B(-3t-1)+Ct+D=(4A-3B+C)t+(-A-B+D)}\). Zatem na podstawie równości wielomianów dostajemy \(\displaystyle{ \begin{cases} 4A-3B+C=0 \\ -A-B+D=0\end{cases}}\).
Ponieważ płaszczyzna \(\displaystyle{ \pi}\) jest równoległa do drugiej prostej, to równanie \(\displaystyle{ A(4t-2)+B(3t+3)+2Ct+D=0}\) z niewiadomą \(\displaystyle{ t}\) nie posiada rozwiązań. Mamy \(\displaystyle{ 0=A(4t-2)+B(3t+3)+2Ct+D=(4A+3B+2C)t+(-2A+3B+D)}\), więc \(\displaystyle{ 4A+3B+2C=0}\) oraz \(\displaystyle{ -2A+3B+D\ne 0}\).

Możemy zatem rozważyć (i rozwiązać) wpierw układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} 4A-3B+C=0 \\ -A-B+D=0 \\ 4A+3B+2C=0 \end{cases}}\),
sprawdzając później, czy spełniona jest też zależność \(\displaystyle{ -2A+3B+D\ne 0}\).

Co więcej, wystarczy rozważyć przypadki \(\displaystyle{ A=0, A=1}\) (gdyby w równaniu płaszczyzny było \(\displaystyle{ A\ne 0, A\ne 1}\), można by podzielić je stronami przez \(\displaystyle{ A}\), otrzymując nowe równanie opisujące wszak tę samą płaszczyznę).
Zauważ jednak, że przypadek \(\displaystyle{ A=0}\) prowadzi do równości \(\displaystyle{ B=C=0}\), a to jest sprzeczne z określeniem współczynników równania płaszczyzny.
Zatem musi być \(\displaystyle{ A=1}\). Wyznacz teraz pozostałe niewiadome \(\displaystyle{ B,C,D}\) z powyższego układu równań i sprawdź, czy zachodzi warunek \(\displaystyle{ -2+3B+D\ne 0}\).
ODPOWIEDZ