2 proste i płaszczyzna

[monia888]

Znaleźć równanie płaszczyzny zawierającej prostą \(\displaystyle{ \frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{1}}\) i równoległą do prostej \(\displaystyle{ \frac{x-2}{4}=\frac{y}{3}=\frac{z-1}{-2}}\)

Z góry dziękuję za pomoc

[chris_f]

Do znalezienia równania płaszczyzny wystarczą dwa wektory i punkt z tej płaszczyzny.
Jednym z tych wektorów może być wektor kierunkowy prostej równoległej do płaszczyzny, czyli \(\displaystyle{ \vec{u}=[4,3,-2]}\).
Drugi wektor (a przy okazji punkt płaszczyzny) znajdziemy wybierając dwa dowolne punkty na zadanej prostej. Mając równanie
\(\displaystyle{ \frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{1}}\)
wystarczy np. za \(\displaystyle{ x}\) podstawić dwie dowolne wartości i wyliczyć dla nich \(\displaystyle{ y}\) i \(\displaystyle{ z}\).
Dla \(\displaystyle{ x=1}\) dostaniemy z łatwością \(\displaystyle{ y=1,z=1}\), czyli mamy punkt \(\displaystyle{ P(1,1,1)}\).
Dla \(\displaystyle{ x=3}\) mamy \(\displaystyle{ 1=\frac{y-1}{2}}\), skąd \(\displaystyle{ y=3}\) oraz \(\displaystyle{ 1=\frac{z-1}{1}}\) co daje \(\displaystyle{ z=2}\) i punkt \(\displaystyle{ Q(,3,3,2)}\).
Znajdujemy wektor \(\displaystyle{ \vec{v}=\vec{PQ}=[2,2,1]}\).
Iloczyn wektorowy
\(\displaystyle{ \vec{u}\times\vec{v}=[7,-8,2]}\)
jest wektorem prostopadłym do szukanej płaszczyzny, a zatem jej wektorem normalnym. Stąd równanie płaszczyzny można zapisać jako
\(\displaystyle{ 7x-8y+2z+D=0}\)
No i teraz wstawiamy współrzędne np. punktu \(\displaystyle{ P}\)
\(\displaystyle{ 7-8+2+D=0}\)
skąd \(\displaystyle{ D=-1}\).
Ostatecznie równanie szukanej płaszczyzny
\(\displaystyle{ 7x-8y+2z-1=0}\)

[lukasz1804]

Inny sposób - spójrz na moje rozwiązanie zadania 317847.htm .

[monia888]

Dzięki wielkie A nie możemy jako drugiego wektora wziąć od razu wektora kierunkowe prostej zawartej na płaszczyźnie czyli \(\displaystyle{ [2,2,1]}\)?

[lukasz1804]

monia888 - oczywiście, że można.