Wykazać translację

[Niuans]

Wykazać, że dla dowolnej translacji T i dowolnej jednokładności J złożenie
\(\displaystyle{ \psi = J^{-1}TJ}\)
jest translacją.-- 4 gru 2012, o 09:23 --I jeszcze takie:
Opisać geometrycznie złożenie symetrii środkowych \(\displaystyle{ S_PS_QS_R}\)

[kropka+]

Niech

\(\displaystyle{ A(x,y)}\) - wyjściowy punkt
\(\displaystyle{ O(x _{0},y _{0})}\) - środek jednokładności
\(\displaystyle{ s}\) - skala jednokładności
\(\displaystyle{ \vec t =(t _{x},t _{y})}\) - wektor translacji

wtedy po kolei mamy:

\(\displaystyle{ J _{O} ^{s} (A)=A _{1}(x _{1},y _{1}) \wedge \begin{cases} x _{1}=x _{0}+s(x-x _{0}) \\ y _{1}=y _{0}+s(y-y _{0}) \end{cases} \\ \\

T_{\vec t}(A _{1})=A _{2}(x _{2},y _{2}) \wedge \begin{cases} x _{2}=x _{1}+t _{x} \\ y _{2}=y _{1}+t _{y} \end{cases}}\)

Dokończ układ podstawiając za \(\displaystyle{ x _{1}, y _{1}}\) wyrazenia z poprzedniego układu.

Na koniec

\(\displaystyle{ J _{O} ^{ \frac{1}{s} } (A _{2} )=A _{3}(x _{3},y _{3}) \wedge \begin{cases} x _{3}=x _{0}+ \frac{1}{s} (x _{2} -x _{0}) \\ y _{3}=y _{0}+ \frac{1}{s} (y _{2} -y _{0}) \end{cases}}\)

Dokończ jak poprzednio i odczytaj wektor translacji.

[Niuans]

a na jakiej podstawie przy drugiej jednokładności z \(\displaystyle{ J^{-1}}\) zrobiło się \(\displaystyle{ J^{ \frac{1}{s}}}\) ?

czy tu chodzi o to że przekształceniem odwrotnym do jednokładności o środku w O i skali s jest
jednokładność o środku O i skali \(\displaystyle{ \frac{1}{s}}\)

pytam bo jest tez coś takiego jak: jednokładność o skali s=-1 jest symetrią środkową (myślałam że tu coś trzeba kombinować)

jeszcze jedno:
wyszło mi \(\displaystyle{ \begin{cases} x_3=x+ \frac{1}{s}t_x\\y_3=y+ \frac{1}{s}t_y\end{cases}}\)
i jak dokładnie powinien wyglądać ostateczny wniosek

[kropka+]

czy tu chodzi o to że przekształceniem odwrotnym do jednokładności o środku w O i skali s jest
jednokładność o środku O i skali \(\displaystyle{ \frac{1}{s}}\)

Tak, bo \(\displaystyle{ J _{O} ^{ \frac{1}{s} }J _{O} ^{s}(A)=A}\)

Dobrze Ci wyszło.

Wniosek:
Złożenie to jest translacją o wektor \(\displaystyle{ \vec u= \frac{1}{s}\vec t}\)

[Niuans]

jeszcze zad. 2
opisać geometrycznie złożenie symetrii środkowych \(\displaystyle{ S_PS_QS_R}\)

[kropka+]

Analogicznie.
Symetria środkowa względem punktu \(\displaystyle{ O(x _{0},y _{0})}\):

\(\displaystyle{ S _{O}(A(x,y))=A _{1}(x _{1},y _{1}): \begin{cases} x _{1}=2x _{0}-x \\ y _{1}=2y _{0}-y \end{cases}}\)

[Niuans]

ale tu każda symetria ma inny punkt , no i nie wiem co znaczy opisać geometrycznie

[kropka+]

Co z tego, że każda symetria ma inny środek?
Oznacz

\(\displaystyle{ P(x _{P},y _{P}) \\
Q(x _{Q},y _{Q}) \\
R(x _{R},y _{R})}\)

Podstawiaj do tych wzorów i licz.
Wyjdzie Ci, że to złożenie jest symetrią środkową względem pewnego punktu (wyliczysz jego współrzędne).