Pole i obwód figury danej nierównością logarytmiczną

[Callan-Grey]

Dana jest figura F:
\(\displaystyle{ F:[{x,y}\in{R}: log^{2}_{3}(x^{2}+y^{2})-3log_{3}(x^{2}+y^{2})+{2}\leqslant{0}]}\)

Należy obliczyć jej pole i obwód. Jakieś pomysły? Z góry dziękuję.

Dodam że próbowalem sprowadzać to do równania kwadratowego, wszystko wychodziło ładnie ale nie wiem jak mam to interpretować.

[Lorek]

Dodam że próbowalem sprowadzać to do równania kwadratowego

I bardzo dobrze, po podstawieniu \(\displaystyle{ t=\log_3 (x^2+y^2)}\) i roziwązaniu nierówności otrzymujemy
\(\displaystyle{ t\in[1;2]\\1\leq \log_3 (x^2+y^2)\leq 2\\3\leq x^2+y^2\leq 9}\)
i jest to pierścień o promieniach \(\displaystyle{ r=\sqrt{3},\: R=3}\).

[Vixy]

\(\displaystyle{ log_{3}(x^2+y^2)=t}\)


\(\displaystyle{ t^2-3t+2\leqslant 0}\)

z tego wyjdzie ze t nalezy (1,2)

\(\displaystyle{ log_{3}(x^2+y^2)\leqslant 2}\)
\(\displaystyle{ 9\leqslant x^2+y^2}\)


\(\displaystyle{ log_{3}(x^2+y^2)\geqslant 1}\)
\(\displaystyle{ 3\leqslant x^2+y^2}\)


no i powstaly dwa okregi

\(\displaystyle{ x^2+y^2\leqslant 9}\)
\(\displaystyle{ x^2+y^2\geqslant 3}\)


jak sobie narysujesz, to zauwazysz taki pierscien


no i od pola całego koła nalezy odjac pole mniejszego koła


\(\displaystyle{ P_{1}=9\pi}\)
\(\displaystyle{ P_{2}=3\pi}\)

\(\displaystyle{ P=9\pi-3\pi=6\pi}\)


czyli pole figury wynosi \(\displaystyle{ 6\pi}\)