Prosta i płaszczyzna

[Kanodelo]

Mam zbadać wzajemne położenie prostej i płaszczyzny:
\(\displaystyle{ \left\{ c(t)|c(t)=(3t-3,-t+4,4t-2),t\in\mathbb{R}\right\} \\
\left\{ (x,y,z)|9x+7y-5z=11\right\}}\)

Niestety jakimś cudem wychodzi mi, że prosta i płaszczyzna są równoległe a ich częścią wspólną jest inna prosta (wiem że to nie możliwe )
wektor prostej to \(\displaystyle{ (3,-1,4)}\), a płaszczyzny \(\displaystyle{ (9,7,-5)}\)
\(\displaystyle{ (3,-1,4)\circ (9,7,-5)=27-7-20=0}\) - wektory są prostopadłe więc prosta i płaszczyzna są równoległe
a teraz wyznaczam punkty wspólne:
\(\displaystyle{ 9(3t-3)+7(4-t)-5(4t-2)=11 \\
27t-27+28-7t-20t+10=11 \\
11=11}\)
równanie ma nieskończenie wiele rozw, czyli \(\displaystyle{ t\in\mathbb{R}}\), spełniają je wszystkie punkty \(\displaystyle{ (t,t,t)}\) więc częścią wspólną jest prosta \(\displaystyle{ \left\{ c(t)|c(t)=(t,t,t)\right\}}\)
Dodatkowo kąt między wektorami prostej i płaszczyzny wyszedł mi 0, więc się nie pokrywają czyli znowu nic się nie zgadza..
Dostałem takie coś 2 tygodnie temu na kole i nawet jak usiadłem do tego po takim czasie to nie widze żadnego błędu

[scyth]

Dlaczego podstawiasz równanie prostej do płaszczyzny, skoro wiesz, że są równoległe? Żeby sprawdzić, czy prosta zawiera się w płaszczyźnie, wybierz dowolny punkt z prostej i sprawdź, czy należy on do płaszczyzny. Jeśli tak - płaszczyzna zawiera tą prostą. Jeśli nie, oblicz odległość tego punktu od płaszczyzny (a stąd masz odległość prostej od płaszczyzny). W zasadzie możesz to nawet zrobić od razu - jak wyjdzie zero to masz zawieranie.

[Kanodelo]

No niby tak, skoro wiem że są równoległe to nie powinienem znajdywać punktów wspólnych. Ale gdybym zaczął to rozwiązywać od drugiej strony, to znaczy najpierw bym szukał pkt wspólnych i wyszła by ta prosta, to już by było źle, bo w takim razie nie sprawdzał bym czy są równoległe. No chyba że równoległość to jakiś 'warunek konieczny', że jak się tego nie sprawdzi to dalej nie ma co rozwiązywać zadania.

[scyth]

Wyznaczenie wektora kierunkowego prostej i wektora normalnego płaszczyzny to pierwszy, standardowy krok. Stąd dostajesz informacje o równoległości i później wiesz, czy masz szukać punktów wspólnych, czy liczyć odległość prostej od płaszczyzny.