prosta styczna do hiperboli

[Bojdas]

Wykazać ze prosta \(\displaystyle{ Ax+By+C=0}\) jest styczna do hiperboli \(\displaystyle{ \frac{x ^{2} }{a ^{1} } - \frac{y ^{2} }{b ^{2} } =1}\) wtedy i tylko wtedy gry \(\displaystyle{ a ^{2} A ^{2} - b ^{2} B ^{2} = C ^{2} .}\)

[anna_]

\(\displaystyle{ Ax+By+C=0 \Rightarrow y=- \frac{ax+c}{b}}\)
\(\displaystyle{ \frac{x ^{2} }{a ^{2} } - \frac{y ^{2} }{b ^{2} } =1}\)

\(\displaystyle{ \frac{x ^{2} }{a ^{2} } - \frac{\left(- \frac{ax+c}{b} \right) ^2}{b ^{2} } =1}\)

Doprowadzić do równania kwadratowego i \(\displaystyle{ \Delta=0}\)