Odległość punktu od prostej...

[Hajtowy]

Zbadaj, w zależności od wartości parametru \(\displaystyle{ m \ (m \in \RR)}\) liczbę punktów wspólnych okręgu \(\displaystyle{ o}\) z prostą \(\displaystyle{ l}\), jeśli :

\(\displaystyle{ o: \ (x-1)^2+(y-1)^2=m \ \ l:y+x=1}\)

\(\displaystyle{ O(1;1)}\)
\(\displaystyle{ r=\sqrt{m}}\)

\(\displaystyle{ y=1-x}\)

\(\displaystyle{ x^2-2x+1+x^2=m}\)
\(\displaystyle{ 2x^2-2x+1=m}\)

\(\displaystyle{ \Delta=4-8=-4}\)

\(\displaystyle{ \Delta < 0}\)

Odpowiedź ze zbiorku brzmi :

\(\displaystyle{ Dla \ m \in (-\infty;0> \ rownanie \ (x-1)^2+(y-1)^2=m \ nie \ opisuje \ okregu}\)
\(\displaystyle{ 0 \ punktow \ wspolnych \ dla \ m \in (0; 0,5)}\)
\(\displaystyle{ 1 \ punkt \ wspolny \ dla \ m = 0,5}\)
\(\displaystyle{ 2 \ punkty \ wspolne \ dla m \in (0,5 ; + \infty)}\)

Jak do tego dość ?

[mmoonniiaa]

Przenieś \(\displaystyle{ m}\) na lewą stronę i rozpatrz 3 przypadki w zależności od delty:
\(\displaystyle{ 2x^2-2x+1-m=0}\)
Konieczne jest też założenie, że \(\displaystyle{ m > 0}\), aby był to okrąg.

[Hajtowy]

mmoonniiaa, yyy jakie 3 przypadki ? Bo nie bardzo rozumiem

Mam obliczyć deltę czy co

[mmoonniiaa]

Tak, deltę policz.
Jeśli równanie \(\displaystyle{ 2x^2-2x+1-m=0}\) będzie miało:
2 rozwiązania: \(\displaystyle{ \Delta>0}\) - będą dwa punkty wspólne prostej i okręgu
1 rozwiązanie: \(\displaystyle{ \Delta=0}\) - będzie jeden punkt wspólny prostej i okręgu
brak rozwiązań: \(\displaystyle{ \Delta<0}\) - nie będzie punktów wspólnych prostej i okręgu

[Hajtowy]

\(\displaystyle{ \Delta=4-8(1-m)=4-8+8m=8m-4 \Rightarrow 2m-1 \Rightarrow m=0 \vee m=0,5}\)

Parabola bd ramionami do góry

2 pkt wspólne gdy \(\displaystyle{ m \in ...}\)
1 pkt wspólny gdy \(\displaystyle{ m=0 \vee m=0,5}\)
0 pkt wspólnych gdy\(\displaystyle{ m \in ...}\)

[mmoonniiaa]

Obliczyłeś deltę, do tego miejsca jest w porządku: \(\displaystyle{ \Delta=8m-4}\)

Teraz Twoim zadaniem jest rozwiązanie takich przypadków:
2 punkty wspólne, gdy \(\displaystyle{ 8m-4>0 \Leftrightarrow m \in ...}\)
1 punkt wspólny, gdy \(\displaystyle{ 8m-4=0 \Leftrightarrow m = ...}\)
brak punktów wspólnych, gdy \(\displaystyle{ 8m-4<0 \Leftrightarrow m \in ...}\)

Nie wiem, skąd wytrzasnąłeś, że \(\displaystyle{ m=0}\)... Jaka w ogóle parabola?!

[Hajtowy]

\(\displaystyle{ \Delta=8m-4 > 0 \ //:4}\)
\(\displaystyle{ \Delta=2m-1 > 0}\)
\(\displaystyle{ m=\frac{1}{2}}\)

No tak Sam nie wiem skąd mi się to zero wzięło

[mmoonniiaa]

Czyli wszystko jasne?

[Hajtowy]

Tak w miarę. Dopytałem kolegi, jeszcze jutro dopytam profesora i będzie alles klar