Zbadaj liczbę pkt wspólnych okregu z prostą

[Hajtowy]

Zbadaj, w zależności od wartości parametru \(\displaystyle{ m \ (m \in \RR)}\), liczbę punktów wspólnych okręgu \(\displaystyle{ o}\) z prostą \(\displaystyle{ l}\), jeśli :

\(\displaystyle{ o: \ (x+2)^2+(y+4)^2=2 \ ; \ \ l: \ y=-x+m}\)

\(\displaystyle{ O(-2;-4) \ \ r=\sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ x^2+4x+4+y^2+8y+16=2}\)
\(\displaystyle{ x^2+y^2+4x+8y+18=0}\)

\(\displaystyle{ x^2+(-x+m)^2+4x+8(-x+m)+18=0}\)
\(\displaystyle{ x^2+x^2-2mx+m^2+4x-8x+8m+18=0}\)
\(\displaystyle{ 2x^2-2mx+m^2-4x+8m+18=0}\)
\(\displaystyle{ 2x^2-(2m+4)x+m^2+8m+18=0}\)

\(\displaystyle{ \Delta > 0}\)

\(\displaystyle{ \Delta=-(2m+4)^2-4(2m^2+16m+36)}\)
\(\displaystyle{ \Delta=-4m^2-16m-16-8m^2+64m+144}\)
\(\displaystyle{ \Delta=-3m^2+12m+32}\)
\(\displaystyle{ \Delta = 144 -4(-96) = 528}\)

Gdzieś tutaj jest błąd albo rozwiązanie jest takie powalone gdyż, pierwiastek z \(\displaystyle{ 528}\) jest strasznie dziwny -.-

Pomoże ktoś?

[chris_f]

Co takiego dziwnego widzisz w pierwiastku z \(\displaystyle{ 528}\)?
\(\displaystyle{ \sqrt{528}=\sqrt{16\cdot33}=4\sqrt{33}}\)
Rachunków nie sprawdzałem, ale nie wiem skąd bierze się przekonanie, że zawsze musi wyjść jakaś "super ładna" liczba.

[Hajtowy]

Skoro w odpowiedziach jest, że \(\displaystyle{ m=-4 \vee m=-8}\) to coś musi być nie tak...

Czyli wychodzi na to, że coś jest źle

[mmoonniiaa]

Źle liczysz deltę dla tego równania: \(\displaystyle{ 2x^2-(2m+4)x+m^2+8m+18=0}\)
Powinno być:
\(\displaystyle{ \Delta=\red \left( -(2m+4)\right) ^2 \black -4(2m^2+16m+36)}\)

[Hajtowy]

\(\displaystyle{ \Delta=4m^2+16m+16-8m^2+64m+144}\)
\(\displaystyle{ \Delta=-4m^2+80m+160}\)

tak ? :X

[chris_f]

\(\displaystyle{ o: \ (x+2)^2+(y+4)^2=2 \ ; \ \ l: \ y=-x+m}\)
\(\displaystyle{ (x+2)^2+(-x+m+4)^2=2}\)
\(\displaystyle{ x^2+4x+4+x^2+m^2+16-2mx-8x+8m-2=0}\)
\(\displaystyle{ 2x^2+(-4-2m)x+m^2+8m+18=0}\)

\(\displaystyle{ \Delta=(-4-2m)^2-8(m^2+8m+18)=16+16m+4m^2-8m^2-64m-144=
-4m^2-48m-128}\)
\(\displaystyle{ -4m^2-48m-128>0}\)
\(\displaystyle{ m^2+12m+32<0}\)
\(\displaystyle{ \Delta_1=144-128=16}\)
\(\displaystyle{ m_1=-8\vee -4}\)
No i teraz
\(\displaystyle{ \Delta>0\iff m\in(-8,-4)}\) - dwa punkty wspólne
\(\displaystyle{ m=-8\vee m=-4}\) - jeden punkt wspólny
\(\displaystyle{ \Delta>0\iff m\in(-\infty,-8)\cup(-4,\infty)}\) - brak punktów wspólnych