Kąt między wektorami

[numismatus]

Witam, mam takie oto zadanie:

Dane są wektory \(\displaystyle{ \vec{u} = - \vec{a} + 4 \vec{b}}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{v} = 3 \vec{a} + 2 \vec{b}}\).
Wektory te są do siebie prostopadłe oraz:
\(\displaystyle{ \left| \vec{a} \right| = \left| \vec{b} \right| = 1}\)
Obliczyć kąt między wektorami \(\displaystyle{ \vec{a}}\) i \(\displaystyle{ \vec{b}}\)

[scyth]

Oblicz iloczyn skalarny wektorów \(\displaystyle{ \vec{u}}\) i \(\displaystyle{ \vec{v}}\).

[chris_f]

Skoro wektory \(\displaystyle{ \vec{u},\vec{v}}\) są prostopadłe, to ich iloczyn skalarny wynosi zero, a zatem
\(\displaystyle{ \vec{u}\circ\vec{v}=0}\)
\(\displaystyle{ (-\vec{a}+4\vec{b})\circ(3\vec{a}+2\vec{b})=0}\)
\(\displaystyle{ -3\vec{a}^2-2\vec{a}\circ\vec{b}+12\vec{a}\circ\vec{b}+8\vec{b}^2=0}\)
Stąd mamy (bo \(\displaystyle{ \vec{x}^2=|\vec{x}|^2}\)), że
\(\displaystyle{ -3+10\vec{a}\circ\vec{b}+8=0}\)
\(\displaystyle{ 10\vec{a}\circ\vec{b}=-5}\)
\(\displaystyle{ \vec{a}\circ\vec{b}=-\frac12}\)
Skorzystaj teraz ze wzoru na cosinus kąta między wektorami i odczytaj kąt.

[numismatus]

Dziękuję serdecznie, byłem blisko