Na płaszczyźnie, w prostokątnym układzie współrzędnych, zilustruj zbiór punktów, których współrzędne spełniają układ nierówności:
\(\displaystyle{ \begin{cases}\sqrt{4y^2-x^2}\leqslant2y+2\\x^2+y^2\leqslant9\end{cases}}\)
Zbiór punktów spełniających równanie.
-
jasny
- Użytkownik
- Posty: 845
- Rejestracja: 2 kwie 2006, o 23:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Limanowa
- Pomógł: 191 razy
Zbiór punktów spełniających równanie.
Pierwsza nierówność:
Najpierw założenia: \(\displaystyle{ 4y^2-x^2\geq0}\)
\(\displaystyle{ y\geq(\frac{x}{2})^2}\)
\(\displaystyle{ y\geq|\frac{x}{2}|\,\vee\,y\leq-|\frac{x}{2}|}\)
Oraz \(\displaystyle{ 2y+2\geq0\,\Leftrightarrow\,y\geq-1}\)
Zaznaczamy ten zbiór punktów w układzie współrzędnych.
Teraz możemy nierówność podnieść obustronnie do kwadratu:
\(\displaystyle{ 4y^2-x^2\leq4y^2+8y+4}\)
\(\displaystyle{ y\geq-\frac{x^2+4}{8}}\)
\(\displaystyle{ y\geq-\frac{x^2}{8}-\frac{1}{2}}\)
Rysujemy tą parabolę i zaznaczamy zbiór leżący 'ponad' nią.
Drugą nierówność ilustruje koło o środku (0,0) i promieniu 3.
Wystarczy wyznaczyć część wspólną wszystkich zbiorów.
Najpierw założenia: \(\displaystyle{ 4y^2-x^2\geq0}\)
\(\displaystyle{ y\geq(\frac{x}{2})^2}\)
\(\displaystyle{ y\geq|\frac{x}{2}|\,\vee\,y\leq-|\frac{x}{2}|}\)
Oraz \(\displaystyle{ 2y+2\geq0\,\Leftrightarrow\,y\geq-1}\)
Zaznaczamy ten zbiór punktów w układzie współrzędnych.
Teraz możemy nierówność podnieść obustronnie do kwadratu:
\(\displaystyle{ 4y^2-x^2\leq4y^2+8y+4}\)
\(\displaystyle{ y\geq-\frac{x^2+4}{8}}\)
\(\displaystyle{ y\geq-\frac{x^2}{8}-\frac{1}{2}}\)
Rysujemy tą parabolę i zaznaczamy zbiór leżący 'ponad' nią.
Drugą nierówność ilustruje koło o środku (0,0) i promieniu 3.
Wystarczy wyznaczyć część wspólną wszystkich zbiorów.