\(\displaystyle{ \vec{a}=\vec{p}+m\vec{q}}\)
\(\displaystyle{ \vec{b}=3\vec{p}+\vec{q}}\)
dla jakiej wartości parametru m, wektory są do siebie prostopadłe?
\(\displaystyle{ |p|=1\; |q|=2 \; \angle(\vec{p};\vec{q})=\frac{2}{3}\Pi}\)
warunek prostopadłości wektorów, parametr.
-
Tristan
- Użytkownik
- Posty: 2353
- Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 557 razy
warunek prostopadłości wektorów, parametr.
Z definicji:
\(\displaystyle{ \vec{a} \circ \vec{a}= \vec{a}^2= | \vec{a}|^2}\)
\(\displaystyle{ \fi=| \angle ( \vec{a}, \vec{b} )|, \cos \fi= \frac{ \vec{a} \circ \vec{b}}{ | \vec{a} | | \vec{b} | }}\)
\(\displaystyle{ \vec{ a} \perp \vec{b} ( \vec{a} \vec{0} \vec{b} \vec{0} \vec{ a} \circ \vec{b}=0)}\)
Mamy, że \(\displaystyle{ \cos \frac{2}{3} \pi = \frac{ \vec{p} \circ \vec{q}}{ | \vec{p} | | \vec{q} | }}\), czyli \(\displaystyle{ - \frac{1}{2}= \frac{ \vec{p} \circ \vec{q}}{ 1 2}}\), więc \(\displaystyle{ \vec{p} \circ \vec{q}=-1}\). Aby sprawdzić dla jakiej wartości parametru m wektory \(\displaystyle{ \vec{a}, \vec{b}}\) są prostopadłe mamy do rozwiązania następujące równanie:
\(\displaystyle{ \vec{ a} \circ \vec{b}=0 \\ ( \vec{p} + m \vec{q}) \circ ( 3 \vec{p} + \vec{q})=0 \\ 3 \vec{p}^2 + \vec{p} \circ \vec{q} + 3m \vec{q} \circ \vec{p} + \vec{q}^2=0 \\ 3 1 +(-1) +3m (-1) +4=0 \\ 6=-3m \\ m=-2}\)
\(\displaystyle{ \vec{a} \circ \vec{a}= \vec{a}^2= | \vec{a}|^2}\)
\(\displaystyle{ \fi=| \angle ( \vec{a}, \vec{b} )|, \cos \fi= \frac{ \vec{a} \circ \vec{b}}{ | \vec{a} | | \vec{b} | }}\)
\(\displaystyle{ \vec{ a} \perp \vec{b} ( \vec{a} \vec{0} \vec{b} \vec{0} \vec{ a} \circ \vec{b}=0)}\)
Mamy, że \(\displaystyle{ \cos \frac{2}{3} \pi = \frac{ \vec{p} \circ \vec{q}}{ | \vec{p} | | \vec{q} | }}\), czyli \(\displaystyle{ - \frac{1}{2}= \frac{ \vec{p} \circ \vec{q}}{ 1 2}}\), więc \(\displaystyle{ \vec{p} \circ \vec{q}=-1}\). Aby sprawdzić dla jakiej wartości parametru m wektory \(\displaystyle{ \vec{a}, \vec{b}}\) są prostopadłe mamy do rozwiązania następujące równanie:
\(\displaystyle{ \vec{ a} \circ \vec{b}=0 \\ ( \vec{p} + m \vec{q}) \circ ( 3 \vec{p} + \vec{q})=0 \\ 3 \vec{p}^2 + \vec{p} \circ \vec{q} + 3m \vec{q} \circ \vec{p} + \vec{q}^2=0 \\ 3 1 +(-1) +3m (-1) +4=0 \\ 6=-3m \\ m=-2}\)