Wyprowadzenie wzoru na kąt między płaszczyznami

[justynaolszyny]

Poszukuję wyprowadzenia wzoru na kąt między płaszczyznami w których jedna płaszczyzna wyznaczona jest przez punkty \(\displaystyle{ A, B, C}\) a druga np. \(\displaystyle{ D, E, F}\). Czy takowe bądź podobne wyprowadzenie było poruszane na forum, a może znajdę go w jakiejś literaturze? Będę wdzięczna za jakąkolwiek pomoc.

[lukasz1804]

Spróbuj jednak wykonać to zadanie samodzielnie.

Wystarczy wyznaczyć równania ogólne obu płaszczyzn, a następnie kąt między wektorami normalnymi tych płaszczyzn (tu skorzystaj z definicji iloczynu skalarnego).

[justynaolszyny]

Ok będę próbować. Przy wyznaczaniu ogólnego równania dobrze będzie jeśli przyjmę sobie jak poniżej?
\(\displaystyle{ A=(x_A,y_A,z_A)}\)
\(\displaystyle{ B=(x_B,y_B,z_B)}\)
\(\displaystyle{ C=(x_C,y_C,z_C)}\)
itp. dla DEF

[lukasz1804]

Tak, jak najbardziej.

[justynaolszyny]

Wykonałam obliczenia które prezentują się jak poniżej. Prosiłabym o sprawdzenie czy tak to ma wyglądać? Następnie podstawić wektory \(\displaystyle{ \vec{n_1}}\) i \(\displaystyle{ \vec{n_2}}\) do wzoru na iloczyn skalarny.

======Założenie=========
\(\displaystyle{ A=(x_A,y_A,z_A)}\)
\(\displaystyle{ B=(x_B,y_B,z_B)}\)
\(\displaystyle{ C=(x_C,y_C,z_C)}\)

\(\displaystyle{ K=(x_K,y_K,z_K)}\)
\(\displaystyle{ L=(x_L,y_L,z_L)}\)
\(\displaystyle{ M=(x_M,y_M,z_M)}\)
=========OBLICZENIA======
\(\displaystyle{ \vec{AB}=[x_{B}-x_{A},y_{B}-y_{A},z_{B}-z_{A}]}\)
\(\displaystyle{ \vec{AC}=[x_{C}-x_{A},y_{C}-y_{A},z_{C}-z_{A}]}\)

\(\displaystyle{ \vec{KL}=[x_{L}-x_{K},y_{L}-y_{K},z_{L}-z_{K}]}\)
\(\displaystyle{ \vec{KM}=[x_{M}-x_{K},y_{M}-y_{K},z_{M}-z_{K}]}\)
======Założenie=========
\(\displaystyle{ [x_{B}-x_{A}]=x_{AB}}\)
\(\displaystyle{ [y_{B}-y_{A}]=y_{AB}}\)
\(\displaystyle{ [z_{B}-z_{A}]=z_{AB}}\)
\(\displaystyle{ [x_{C}-x_{A}]=x_{AC}}\)
\(\displaystyle{ [y_{C}-y_{A}]=y_{AC}}\)
\(\displaystyle{ [z_{C}-z_{A}]=z_{AC}}\)

\(\displaystyle{ [x_{L}-x_{K}]=x_{KL}}\)
\(\displaystyle{ [y_{L}-y_{K}]=y_{KL}}\)
\(\displaystyle{ [z_{L}-z_{K}]=z_{KL}}\)
\(\displaystyle{ [x_{M}-x_{K}]=x_{KM}}\)
\(\displaystyle{ [y_{M}-y_{K}]=y_{KM}}\)
\(\displaystyle{ [z_{M}-z_{K}]=z_{KM}}\)

=========OBLICZENIA======
\(\displaystyle{ \vec{AB}=[x_{AB},y_{AB},z_{AB}]}\)
\(\displaystyle{ \vec{AC}=[x_{AC},y_{AC},z_{AC}]}\)

\(\displaystyle{ \vec{KL}=[x_{LK},y_{LK},z_{LK}]}\)
\(\displaystyle{ \vec{KM}=[x_{MK},y_{MK},z_{MK}]}\)

\(\displaystyle{ \vec{n_1} =\vec{AB} \times \vec{AC}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i} &\vec{j} &\vec{k}\\ x_{AB}&y_{AB}&z_{AB}\\ x_{AC}&y_{AC}&z_{AC}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}y_{AB}&z_{AB}\\ y_{AC}&z_{AC}\end{array}\right| \vec{i} -\left|\begin{array}{cc}x_{AB}&z_{AB}\\ x_{AC}&z_{AC}\end{array}\right| \vec{j}+\left|\begin{array}{cc}x_{AB}&y_{AB}\\ x_{AC}&y_{AC}\end{array}\right| \vec{k}=i[y_{AB}z_{AC}-z_{AB}y_{AC}]-j[x_{AB}z_{AC}-z_{AB}x_{AC}]+k[x_{AB}y_{AC}-y_{AB}x_{AC}]=[y_{AB}z_{AC}-z_{AB}y_{AC},-x_{AB}z_{AC}+z_{AB}x_{AC},x_{AB}y_{AC}-y_{AB}x_{AC}]}\)

\(\displaystyle{ \vec{n_2} =\vec{KL} \times \vec{KM}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i} &\vec{j} &\vec{k}\\ x_{KL}&y_{KL}&z_{KL}\\ x_{KM}&y_{KM}&z_{KM}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}y_{KL}&z_{KL}\\ y_{KM}&z_{KM}\end{array}\right| \vec{i} -\left|\begin{array}{cc}x_{KL}&z_{KL}\\ x_{KM}&z_{KM}\end{array}\right| \vec{j}+\left|\begin{array}{cc}x_{KL}&y_{KL}\\ x_{KM}&y_{KM}\end{array}\right| \vec{k}=i[y_{KL}z_{KM}-z_{KL}y_{KM}]-j[x_{KL}z_{KM}-z_{KL}x_{KM}]+k[x_{KL}y_{KM}-y_{KL}x_{KM}]=[y_{KL}z_{KM}-z_{KL}y_{KM},-x_{KL}z_{KM}+z_{KL}x_{KM},x_{KL}y_{KM}-y_{KL}x_{KM}]}\)

[lukasz1804]

Wszystko dobrze. Teraz z definicji iloczynu skalarnego mamy

\(\displaystyle{ \cos\angle(\vec{n_1},\vec{n_2})=\frac{\vec{n_1}\circ\vec{n_2}}{\|\vec{n_1}\|\|\vec{n_2}\|}}\).

Na koniec trzeba zauważyć, że kąt między płaszczyznami ma miarę \(\displaystyle{ \pi-\angle(\vec{n_1},\vec{n_2})}\), więc jego kosinus wynosi \(\displaystyle{ -\cos\angle(\vec{n_1},\vec{n_2})}\).

Podziwiam chęć i determinację w wykonywaniu tylu obliczeń.