Współrzędne punktu na prostej.

[Sabat]

Trzy punkty \(\displaystyle{ A, B, C}\) (w takiej kolejności) znajdują się na jednej prostej.
Dane są współrzędne punktu \(\displaystyle{ A=(2;2;3)}\) i \(\displaystyle{ B=(4;3;4)}\) oraz odległość pomiędzy punktem \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ C}\), która wynosi \(\displaystyle{ 2}\).
Jak obliczyć współrzędne punktu \(\displaystyle{ C=(?;?;?)}\)

[szw1710]

Dodając do wektora \(\displaystyle{ \vec{AB}}\) wektor równoległy i z tym samym zwrotem, ale o długości \(\displaystyle{ 2}\).

[Sabat]

Jak dalej wykonać obliczenia?
\(\displaystyle{ \vec{AB}+ \vec{BC}= \vec{AC}}\)
\(\displaystyle{ \vec{AB}=\left[ 2,1,1\right]}\)
\(\displaystyle{ \vec{BC}=\left[ x-4,y-3,z-4\right]}\)
\(\displaystyle{ \vec{AC}=\left[ x-2,y-2,z-3\right]}\)
\(\displaystyle{ \left| \vec{AB}\right|= \sqrt{6}}\)
\(\displaystyle{ \left| \vec{BC}\right|= \sqrt{ \left( x-4\right) ^{2}+ \left( y-3\right) ^{2}+ \left( z-4\right) ^{2} }=2}\)
\(\displaystyle{ \left| \vec{AC}\right|= \sqrt{ \left( x-2\right) ^{2}+ \left( y-2\right) ^{2}+ \left( z-3\right) ^{2} }=2+ \sqrt{6}}\)-- 6 lis 2012, o 21:34 --Czy jest ktoś w stanie rozwiązać to zadanie? Jest na to jakaś sprawna metoda?
Czy pozostaje rozwiązać układ równań.
\(\displaystyle{ \begin{cases}
\sqrt{\left ( x-4\right) ^{2} + \left( y-3\right) ^{2} + \left( z-4\right) ^{2}} =2
\\ \sqrt{ \left( x-2\right) ^{2} + \left( y-2\right) ^{2} \left( z-3\right) ^{2}} =2+ \sqrt{6}
\\ \vec{AB} \times \vec{AC}=0 ^{*} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ ^{*} 2\left( x-2\right) +1\left( y-2\right)+1\left( z-3\right)=0}\)