Znaleźć równanie elipsy

[Moshi_moshi]

Proszę o pomoc, bo naprawdę nie wiem jak to zrobić...

Znaleźć równanie elipsy mającej ogniska na osi \(\displaystyle{ Ox}\) symetryczne względem początku układu wiedząc, że przechodzi ona przez punkt \(\displaystyle{ A(4,-1)}\) i jest styczna do prostej \(\displaystyle{ x+4y-10=0}\).

[777Lolek]

Nie daję żadnej gwarancji co do poprawności tego rozwiązania, bo wyszło mi coś lekko kosmicznego. No ale zamieszczam to, bo się trochę napociłem

Skoro ogniska są symetryczne względem początku układu i leżą na osi \(\displaystyle{ OX}\) , to środek elipsy jest w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\) , zatem elipsa ta przedstawia się równaniem \(\displaystyle{ \frac{(x - 0)^2}{a^2} + \frac{(y - 0)^2}{b^2} = 1}\) , zatem \(\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1}\) . Ponadto, punkt \(\displaystyle{ A}\) należy do elipsy, i prosta \(\displaystyle{ x + 4y - 10 = 0 \Leftrightarrow y = -\frac{1}{4}x + 2,5}\) ma jeden punkt styczności z elipsą. Zatem da punktu styczności \(\displaystyle{ (x,y)}\) można ułożyć taki układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\\ \frac{4^2}{a^2} + \frac{(-1)^2}{b^2} = 1\\ \frac{x^2}{a^2} + \frac{(-\frac{1}{4}x + 2,5)^2}{b^2} = 1 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\\ a^2 = \frac{16b^2}{b^2 - 1}\\ \frac{x^2}{a^2} + \frac{x^2 - 10x + 100}{16b^2} = 1 \end{cases}}\)

Z ostatniego równania dostajemy: \(\displaystyle{ x^2b^2 - 10x + 100 - 16b^2 = 0}\)
\(\displaystyle{ \Delta = 0}\) , gdyż jest tylko jeden punkt styczności danej prostej. Zatem \(\displaystyle{ 16b^4 - 100b^2 + 25 = 0}\) . Stąd

\(\displaystyle{ b = \pm \frac{1}{4}\sqrt{10(5\pm \sqrt{21})}}\)

\(\displaystyle{ b}\) jest długością odcinka, więc \(\displaystyle{ b>0}\) , zatem

\(\displaystyle{ b = frac{1}{4}sqrt{10(5pm sqrt{21})}

podstawiam do drugiego równania:

\(\displaystyle{ a^2 = -10(5 \pm \sqrt{21}) + 16}\)

Pamiętamy, że kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc

\(\displaystyle{ a^2 = -34 + 10\sqrt{21} \Rightarrow a = \pm \sqrt{2(5\sqrt{21} - 17)}}\)

\(\displaystyle{ a}\) jest długością odcinka, więc \(\displaystyle{ a>0}\) , zatem

\(\displaystyle{ a = \sqrt{2(5\sqrt{21} - 17)}}\)

Zatem nasza elipsa...

\(\displaystyle{ \frac{x^2}{-34 + 10\sqrt{21}} + \frac{y^2}{\frac{5(5 \pm \sqrt{21})}{8}} = 1}\)}\)

[anna_]

\(\displaystyle{ \frac{x^2}{-34 + 10\sqrt{21}} + \frac{y^2}{\frac{5(5 \pm \sqrt{21})}{8}} = 1}\)

Współrzędne punktu \(\displaystyle{ A(4,-1)}\) nie spełniają równania tej elipsy.

-- dzisiaj, o 18:35 --

\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\\ a^2 = \frac{16b^2}{b^2 - 1}\\ \frac{x^2}{a^2} + \frac{x^2 - 10x + 100}{16b^2} = 1 \end{cases}}\)

Z ostatniego równania dostajemy: \(\displaystyle{ x^2b^2 - 10x + 100 - 16b^2 = 0}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\\ a^2 = \frac{16b^2}{b^2 - 1}\\ \frac{x^2}{a^2} + \frac{x^2 - 20x + 100}{16b^2} = 1 \end{cases}}\)

[777Lolek]

Domyślałem się że coś jest nie tak;p a więc błąd przy przemnażaniu, na początku. Ale postępowanie zapewne dobre, Moshi_moshi, zatem po prostu oblicz ten poprawiony układ równań, który podała anna_. Tutaj \(\displaystyle{ \Delta}\) dla \(\displaystyle{ b^2 = t}\) wychodzi śliczna ;p-- 2 lis 2012, o 18:44 --Dziękuję \

[Moshi_moshi]

Jejku, ślicznie Wam dziękuję Przeanalizuję to sobie na spokojnie, obliczę i może w końcu zrozumiem te elipsy ^^ Dzięki jeszcze raz.