Własności izometrii, przekształcenie.

[Roudin]

Sprawdź, czy przekształcenie płaszczyzny określone wzorem \(\displaystyle{ P((x,y))=(-x,y+1)}\) jest izometrią.

Może mi ktoś wyjaśnić o co chodzi w tym zadaniu

[kamil13151]

No to od początku: co to jest izometria?

[Roudin]

Nie wiem szczerze bo nie miałem tego. Sam uczę się rozszerzenia w domu. Dlatego napisałem prośbę o pomoc tu.

'funkcja zachowująca odległości między punktami przestrzeni metrycznej. W geometrii figury między którymi zachodzi izometria (są izometryczne) nazywa się przystającymi.'
O to może chodzi?

[kamil13151]

Nie wiem szczerze bo nie miałem tego. Sam uczę się rozszerzenia w domu. Dlatego napisałem prośbę o pomoc tu.

Ja również tego nie miałem i również się sam uczyłem, ale co za problem pierw poszukać co znaczy dane słowo? Zdecydowanie mniej czasu zajmie Ci wyszukanie tego w necie niż napisanie na forum.

Tak, oto chodzi. Nie masz przypadkiem zbioru Kiełbasy? Tam jest rozwiązanie.

[Roudin]

Nie nie mam Z innego zbioru to mam. Na końcu jest napisane tylko że jest izometrią.

[kamil13151]

Aby sprawdzić, czy przekształcenie płaszczyzny jest izometrią, należy sprawdzić, czy przekształcenie zachowuje odległość, tzn. czy odległość dwóch punktów płaszczyzny równa się odległości ich obrazów. Weźmy dowolne dwa punkty \(\displaystyle{ K=(a,b), \ L=(c,d)}\) i znajdźmy ich obrazy \(\displaystyle{ K'}\) i \(\displaystyle{ L'}\). Następnie sprawdzamy czy zachodzi \(\displaystyle{ |K'L'|=|KL|}\), jeżeli tak, to przekształcenie jest izometrią.

[Qń]

Przekształcenie \(\displaystyle{ R(x,y)=(-x,y)}\) to symetria osiowa względem osi \(\displaystyle{ OY}\), a symetria jak wiadomo zachowuje odległość, czyli jest izometrią.
Przekształcenie \(\displaystyle{ Q(x,y)=(x,y+1)}\) jest przesunięciem o wektor \(\displaystyle{ [0,1]}\), a przesunięcie jak wiadomo również zachowuje odległość, czyli jest izometrią.

Natomiast przekształcenie z zadania jest złożeniem tych dwóch przekształceń, a jak wiadomo złożenie izometrii też jest izometrią.

Q.

[Roudin]

Ok wyszło mi że jest izometrią.
Dzięki za pomoc.