Geometria różniczkowa

[kkinguus]

Proszę o pomoc w zadaniu:
Znaleźć równanie stycznej do krzywej
\(\displaystyle{ \vec{r} (t)= (t^{2} - 1)i + (t^3 +1)j}\)
irównoległej doprostej \(\displaystyle{ y=2x+3}\)

[octahedron]

Wektor styczny do krzywej:
\(\displaystyle{ \vec{u}(t)=\frac{d}{dt}\vec{r}(t)=\Big[2t,3t^2\Big]}\)
W punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\) mamy osobliwość, więc parametryzujemy:
\(\displaystyle{ \vec{r}(\tau)=\left[\tau,\pm\tau^{\frac{3}{2}}\right] \Rightarrow \vec{u}=\left[1,\pm\frac{3}{2}\tau^{\frac{1}{2}}\right] \Rightarrow \vec{u}(0,0)=[1,0]}\)
Wektor prostopadły do prostej:
\(\displaystyle{ \vec{n}=[2,-1]}\)
stąd:
\(\displaystyle{ \vec{u}\cdot\vec{n}=4t-3t^2=-3t\left(t-\frac{4}{3}\right)=0 \Rightarrow t=\frac{4}{3} \Rightarrow \vec{r}=\left[\frac{7}{9},\frac{91}{27}\right]}\)
więc równanie stycznej to:
\(\displaystyle{ 2\left(x-\frac{7}{9}\right)-\left(y-\frac{91}{27}\right)=0}\)

[DemoniX]

Nie można tego prościej zrobić? Nie miałem nic na ten temat a zadanie do wykonania w domu mam identyczne...

[octahedron]

Najprościej jest chyba właśnie tak. Zresztą skoro masz postać parametryczną, to taka metoda się sama nasuwa.