Prosta i wektor, warunki prostopadłości

[mat1989]

Napisz równanie prostej prostopadłej to wektora \(\displaystyle{ \vec{u}}\) i przechodzącej przez punkt P, gdy :
a)\(\displaystyle{ \vec{u}=[-1,2],P=(0,3)}\)
b)\(\displaystyle{ \vec{u}=[-3,-2],P=(1,-3)}\)
c)\(\displaystyle{ \vec{u}=[-2,-2],P=(2,2)}\)

[Tristan]

Ad a:
Prostą prostopadłą do wektora \(\displaystyle{ \vec{u}}\) jest np. prosta przechodzaca przez punkty (-1,0) i (0,2). Równanie tej prostej to y=2x+2. Szukamy prostej y=ax+b prostopadłej do niej, więc \(\displaystyle{ a= -\frac{1}{2}}\). Skoro szukana prosta przechodzi przez punkt P=(0,3), to \(\displaystyle{ b=3}\), czyli \(\displaystyle{ y=- \frac{1}{2} x+3}\).
Kolejne przykłady rozwiązujesz podobnie.

[mat1989]

znaczy się trzeba to narysować w układzie współrzędnych?
czy można by najpierw znaleźć prostą w której zwiera się wektor?

[Tristan]

Jeśli lepiej to widzisz, to możesz oczywiście namalować szkic w układzie współrzędnych. A ta prosta ma być równoległa do danego wektora, ale nie musi koniecznie być tą, która go zawiera

[mat1989]

znaczy się najpierw napiszę wzór prostej pokrywającej się z wektorem, a potem prostopadłej do niej i przechodzącej przez ten punkt. Mi się zdaje że tak też powinno być dobrze
aha, mam jako wskazówkę coś takiego:

Jeśli \(\displaystyle{ \vec{u}=[A,B]}\), to prosta l taka że \(\displaystyle{ l\perp \vec{u}}\) ma równanie Ax+By+C=0

ale nie wiem za bardzo jak z tego tutaj skorzystać...

[lukasz1415]

Ad a:
Prostą prostopadłą do wektora \(\displaystyle{ \vec{u}}\) jest np. prosta przechodzaca przez punkty (-1,0) i (0,2). Równanie tej prostej to y=2x+2. Szukamy prostej y=ax+b prostopadłej do niej, więc \(\displaystyle{ a= -\frac{1}{2}}\). Skoro szukana prosta przechodzi przez punkt P=(0,3), to \(\displaystyle{ b=3}\), czyli \(\displaystyle{ y=- \frac{1}{2} x+3}\).
Kolejne przykłady rozwiązujesz podobnie.

tak odświeżam to zadanie, ale czy tam nie ma jakiejś bzdury?
po pierwsze chyba nie prostopadłą a równoległą
ale i tak prosta \(\displaystyle{ y=2x+2}\) nie ani równoległa ani prostopadła do danego wektora
bo równoległa to rodzina postaci: \(\displaystyle{ y=-2x+b}\)
bo: wektor ma współrzędne \(\displaystyle{ [-1;2]}\) więc \(\displaystyle{ a=\frac{2}{-1}}\)
także i sam wynik: \(\displaystyle{ y=- \frac{1}{2} x+3}\)
tez musi być źle...

[Marmat]

Można to zrobić dużo prościej.
Niech punkt Q(x,y) należy do szukanej prostej.
\(\displaystyle{ \vec{PQ}=[x,y-3]}\)
jest to wektor prostopadły do wektora u. Iloczyn skalarny tych wektorów wynosi 0.
-1x+2(y-3)=0
-x+2y-6=0
czyli: y=1/2x+3
Ponieważ warunek ten zachodzi dla dowolnego punktu szukanej prostej, więc opisuje on szukaną prostą.
Pozdrawiam.