Znaleźć odległość punktu leżącego na prostej, od paraboli.

[fortunatakramer]

Znaleźć odległość punktu \(\displaystyle{ (a,1)}\) leżącego na prostej \(\displaystyle{ y=a}\) od paraboli \(\displaystyle{ 2y=x^2.}\)

Z góry bardzo dziękuję.

[bb314]

Do prostej \(\displaystyle{ y=a}\) nie może należeć punkt \(\displaystyle{ (a,1)}\), z wyjątkiem przypadku, gdy \(\displaystyle{ a=1}\)
wówczas mamy punkt \(\displaystyle{ (1,1)}\)
odległość tego punktu od punktu \(\displaystyle{ (x,y)}\)
\(\displaystyle{ d=\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}}\)
jeśli ten punkt ma należeć do zadanej paraboli \(\displaystyle{ y=\frac12x^2}\), to
\(\displaystyle{ d=\sqrt{(x-1)^2+\left(\frac12x^2-1\right)^2}=\sqrt{x^2-2x+1+\frac14x^4-x^2+1}=\sqrt{\frac14x^4-2x+2}}\)
żeby znaleźć najmniejszą wartość \(\displaystyle{ d}\) trzeba pochodną przyrównać do zera
\(\displaystyle{ d'=\frac{x^3-2}{2\sqrt{\frac14x^4-2x+2}}=0\ \ \to\ \ x^3-2=0\ \ to\ \ \blue x=\sqrt[3]2}\)
\(\displaystyle{ \blue d=\sqrt{\frac14\left(\sqrt[3]2\right)^4-2\sqrt[3]2+2}}\)\(\displaystyle{ \approx 0,332}\)

[fortunatakramer]

Czyli jaka będzie odpowiedź? )

-- 16 paź 2012, o 23:07 --

Ok, wcześniej nie wyświetliła się całość zadania

Wielkie dzięki za wyjaśnienie
Zaraz będę je analizować

-- 16 paź 2012, o 23:15 --

Tylko, że ten punkt ma należeć do zadanej prostej y=a, a nie do paraboli.

[bb314]

odległość tego punktu od punktu \(\displaystyle{ (x,y)}\)
\(\displaystyle{ d=\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}}\)
jeśli ten punkt ma należeć do zadanej paraboli \(\displaystyle{ y=\frac12x^2}\)

Do paraboli ma należeć punkt \(\displaystyle{ (x,y)}\), którego odległość od punktu \(\displaystyle{ (1,1)}\) chcemy ustalić.