Zadania krótkiej i rozszerzonej odpowiedzi (odległość punktu

[szczypaniec]

1. W okrąg o równaniu\(\displaystyle{ (x-2) ^{2}+(y+1) ^{2} = 9}\) wpisano trójkąt równoramienny taki, że |AC|=|AB|,
A=( 2 , k)
C= (m, -1) i \(\displaystyle{ k, m \in R}\) k>0, m>2. Oblicz długość ramienia trójkąta ABC

2. Do prostej p należy punkt A= (4 , -2). Prosta p przecina oś OX w punkcie K i oś OY w punkcie G,w taki sposób, że |OG|=|OK|. Znajdź równanie tej prostej

3. Wiadomo, że A= (0,3) B= (-1,0), C= (0,0). Znajdź równanie prostej, w której zawiera się wysokość trójkąta ABC poprowadzona z wierzchołka C.

4. Punkt P należy do prostej o równaniu y+x-10=0 Najmniejsze odległość tego punktu od okręgu o równaniu \(\displaystyle{ (x-4) ^{2}+(y+2) ^{2} =r ^{2}}\), gdzie r>0, jest równa \(\displaystyle{ 4 \sqrt{2} -3}\), a największa \(\displaystyle{ 4 \sqrt{2}+3}\) Znajdź
a) promień okręgu
b) współrzędne punktu P

5.Równoległobok ABCD jest wyznaczony przez proste AB: 3x - 5y +25=0, BC: y=-5 oraz prostą p, do której należą punkty C I D=(0,-5). Wyznacz współrzędne punktu C

Z góry dziękuję za pomoc.

[777Lolek]

1. W okrąg o równaniu\(\displaystyle{ (x-2) ^{2}+(y+1) ^{2} = 9}\) wpisano trójkąt równoramienny taki, że |AC|=|AB|,
A=( 2 , k)
C= (m, -1) i \(\displaystyle{ k, m \in R}\) k>0, m>2. Oblicz długość ramienia trójkąta ABC

skoro \(\displaystyle{ k,m\in \RR_{+} \wedge m\not\le 2}\) , to już z rysunku można odczytać, że \(\displaystyle{ k = 2}\) oraz \(\displaystyle{ m = 5}\) , zatem \(\displaystyle{ A = (2,2)}\) , \(\displaystyle{ C=(5,-1)}\) .

Skoro \(\displaystyle{ |AC|=|AB|}\) oraz \(\displaystyle{ x_A = x_S}\) gdzie \(\displaystyle{ S}\) to środek okręgu, to \(\displaystyle{ \frac{x_C + x_B}{2} = x_A}\) oraz \(\displaystyle{ y_B = y_C}\), zatem \(\displaystyle{ x_B = 2x_A - x_C = -1}\) oraz \(\displaystyle{ y_B = -1}\) . Odpowiedź: \(\displaystyle{ B=(-1,-1)}\) .

2. Do prostej p należy punkt A= (4 , -2). Prosta p przecina oś OX w punkcie K i oś OY w punkcie G,w taki sposób, że |OG|=|OK|. Znajdź równanie tej prostej

a gdzie jest punkt \(\displaystyle{ O}\) ?

3. Wiadomo, że A= (0,3) B= (-1,0), C= (0,0). Znajdź równanie prostej, w której zawiera się wysokość trójkąta ABC poprowadzona z wierzchołka C.

Musimy znaleźć prostą zawierającą punkt \(\displaystyle{ C}\) prostopadłą do prostej zawierającej odcinek \(\displaystyle{ AB}\) . wyznaczamy prostą \(\displaystyle{ AB}\) :
\(\displaystyle{ y = ax+b}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} y_A = ax_A + b\\ y_B = ax_B + b\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a = 3\\ b=3\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ y = 3x+3}\)

prosta prostopadła do prostej \(\displaystyle{ y = ax+b}\) ma postać \(\displaystyle{ y = -\frac{1}{a} + c}\) \(\displaystyle{ (b}\) niekoniecznie \(\displaystyle{ = c)}\) , zatem szukamy prostej \(\displaystyle{ y = -\frac{1}{3}x + c}\)
a wyraz wolny \(\displaystyle{ c}\) wyznaczymy podstawiając współrzędne punktu \(\displaystyle{ C}\) - to już zrobisz sam.