Styczna(e) do 2 okręgów

[bisz]

mamy dane 2 okregi dajmy na to rozłączne dane rownaniami
x^2 + y^2 = 4 oraz
(x-10)^2 + (y-10)^2 = 2

w przypadku okręgów rozłącznych będą miały one 4 styczne, jak je wyliczyc ? piewszym pomyslem moim było podstawienie do obu postaci y=ax+b i przyrownujac delte do 0 powyliczac, ale otrzymuje dosc nie przyjemne postacie z tymi a i b, zna ktos inny sposob ? [/i]

[Tomasz Rużycki]

Nie ten dział... Przeniosłem...

Pozdrawiam,
--
Tomasz Rużycki

[olazola]

Ale jakie jest pytanie? Bo jeśli chodzi o styczne do obu tych okręgów jednocześnie to nie wiem skąd wzięły się 4.

[W_Zygmunt]

Napisz dwa równania okręgów o środku w punkcie A i promieniach r1-r2 i r1+r2 (szare).
Rownanie prostej przechodzącej przez punkt B ma postać y = a*(x-10)+10.
Wylicz współczynniki a1, a2, a3 i a4 z warunku styczności tej prostej z powyższymi okręgami.
Dla prostych o równaniach y = ai*x+b szukamy b z warunku styczności do okręgu C1.
(Będą po dwie wartości, trzeba wybrać właściwą.)
Proste te będą styczne do obu okręgów C1 i C2.

========
II. rozwiązanie.
Na prostej AB szukamy punktów S i P prrzecięcia stycznych.

Oznaczmy przez |AB| = d, |AS| = t , |AP| = u.
Z podobieństwa trójkątów ALS i SKB wynika
t/r1 = (d-t)/r2
t= (d*r1)/(r1+r2)
Współrzędne punktu S
(x_S,y_S) = (x_A,y_A) + t/d *(x_B-x_A,y_B-y_A) = (x_A,y_A) + r1/(r1+r2)*(x_B-x_A,y_B-y_A)

Podobnie z podobieństwa trójkątów AMP i BNP
u/r1 = (u-d)/r2
u/d = r1/(r1-r2)
Współrzędne punktu P
(x_P,y_P) = (x_A,y_A) + u/d *(x_B-x_A,y_B-y_A) = (x_A,y_A) + r1/(r1-r2)*(x_B-x_A,y_B-y_A)
Mając te punkty łatwo znaleźć równania stycznych.
Podpowiedź: równanie prostej przechodzącej przez punkt S ma postać:
y = a*(x-x_S)+y_S