Okrąg styczny do osi układu i styczna prosta.

[dawid.barracuda]

Witam. Okrąg jest styczny do osi układu współrzędnych w punktach \(\displaystyle{ A=(0;2)}\) i \(\displaystyle{ B=(2;0)}\) oraz jest styczny do prostej \(\displaystyle{ l}\) w punkcie \(\displaystyle{ C=(1;a)}\), gdzie \(\displaystyle{ a>1}\). Wyznacz równanie prostej \(\displaystyle{ l}\).
Otóż zacząłem od takiego układu:
\(\displaystyle{ \begin{cases} r^2=(2-a)^2+(0-b)^2 \\ r^2=(0-a)^2+(2-b)^2 \end{cases}}\)
potem podstawiłem: \(\displaystyle{ r^2=a^2+b^2-c}\) i tym sposobem dostałem:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 4a-c = 4 \\ -4b+c = -4 \end{cases} \Rightarrow a=b}\)
Przy tym siłą rzeczy \(\displaystyle{ c=a-1}\)
Więc \(\displaystyle{ a,b = 1}\), \(\displaystyle{ c = 0}\)
Jednak wszystko to wydaje mi się lipą, bo jak patrzę na rysunek to na moje oko pkty nie mogą leżeć w tym miejscu. Jak należy mądrze to zadanie rozwiązać? Proszę o odpowiedź i pozdrawiam.

[loitzl9006]

Z tego że jest styczny do osi w punktach \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) o podanych współrzędnych wynika że okrąg ma środek w punkcie \(\displaystyle{ S(2;2)}\) i promień długości \(\displaystyle{ 2}\) czyli jego równanie to \(\displaystyle{ (x-2)^2+(y-2)^2=4}\). Dalej, punkt \(\displaystyle{ C(1;a)}\) należy do tego okręgu czyli musi spełniać jego równanie. Wstawiasz współrzędne punktu \(\displaystyle{ C}\) do równania okręgu, masz równanie kwadratowe z niewiadomą \(\displaystyle{ a}\). Wychodzą Ci dwa rozwiązania w tym jedno mniejsze od \(\displaystyle{ 1}\) (odrzucasz je), a drugie uznajesz za słuszne. Masz już współrzędne punktu \(\displaystyle{ C}\). Prosta \(\displaystyle{ l}\) przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ C}\) i jest prostopadła do prostej \(\displaystyle{ CS}\) gdzie \(\displaystyle{ S}\) jest środkiem okręgu.

[dawid.barracuda]

Z rysunku mi właśnie wynikały takie współrzędne środka tylko próbowałem to wyliczyć. Jednak właśnie spojrzałem na rysunek i te współrzędne są oczywiste kiedy wsp. iksowa jest równa ygrekowej.