Styczne do okręgu

[S_Olewniczak]

Witajcie, ostatnio postanowiłem sobie powtórzyć podstawy geometri analitycznej. Niedawno trafiłem na zadanie, które z pozoru wydało mi się łatwe, ale jak do niego się zabrałem skończłem z dość trudnym do rozwiązania układem dwóch równań kwadratowych. Oto treść zadania:

W ukłądzie wspólczędnych narysuj okrąg o równaniu \(\displaystyle{ \left( x+2\right) ^{2}+\left( y-3\right) ^{2}=4}\) oraz zaznacz punkt \(\displaystyle{ A=\left( 0,1\right)}\). Prosta o równaniu \(\displaystyle{ x=0}\) jest jedną ze stycznych do tego okręgu przochodzących przez punkt A. Wyznacz równaine drógiej stycznej do tego okręgu przechodzącej przez punkt A.

Moje pytanie brzmi: Jak rozwązać to zadanie w jakiś sprytny i prosty sposób?

[mat_61]

Jeżeli coś robiłeś to napisz tutaj swoje próby rozwiązania tego zadania. Jeżeli zrobiłeś rysunek to rozwiązanie widać od razu.

Możesz np. zrobić tak:

1. Napisać równanie prostej przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ A}\), czyli \(\displaystyle{ y=ax+1}\)
2. Wstawić tą wartość do równania okręgu i dla otrzymanego równania kwadratowego znaleźć taką wartość \(\displaystyle{ a}\) dla której jest jedno rozwiązanie.

[777Lolek]

Na pewno wykonałeś dobry rysunek? Widać z niego od razu czym jest druga styczna przechodząca przez punkt \(\displaystyle{ A}\) .

[norwimaj]

Z rysunku widać od razu, ale gdyby nie było widać ...

Jednym ze sposobów, które wydają mi się godne rozważenia, jest odbicie jednej ze stycznych w symetrii względem prostej przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ A}\) i przez środek okręgu. Może nie jest to bardzo krótkie rozwiązanie, ale za to unika równań kwadratowych.

[S_Olewniczak]

Na pewno wykonałeś dobry rysunek? Widać z niego od razu czym jest druga styczna przechodząca przez punkt \(\displaystyle{ A}\) .

Masz rację, pomyliłem się przy przepisywaniu treści A powinno mieć współrzędne \(\displaystyle{ A\left( 0, -1\right)}\), ale dzięki podpowiedzi mat_61, chyba wiem jak rozwiązać to zadanie. Oto mój pomysł(jeżeli źle myślę proszę poprawcie mnie):
Wiedząc, że styczna przechodzi prez a, mamy:
\(\displaystyle{ y=ax-1}\)
Podstawiając to do równania okręgu, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ (a^2+1)x ^2+(4-8a)x+16=0}\)
Wiem, że możliwe jest tylko jedno rozwązanie, tak więc ∆ = 0(tego fragmentu jestem najmniej pewien). Tak więc liczę deltę:
\(\displaystyle{ ∆=-4a-3}\)
Tak więc a = -0,75
Na rysunku wszystko się zgadza. Więc chyba działa.

[mat_61]

Po zamianie/poprawieniu współrzędnej punktu \(\displaystyle{ A}\) rozwiązanie na podstawie rysunku już nie jest takie oczywiste (choć bardzo pomocne przy sprawdzeniu).
Oczywiście rozwiązanie które przedstawiłeś jest poprawne (masz literówką, bo w rozwiązaniu punkt \(\displaystyle{ A}\) opisałeś małą literą). Ponadto Twoje stwierdzenie:

Wiem, że możliwe jest tylko jedno rozwiązanie

nie jest do końca poprawne. Rozwiązania tego układu równań mogą być dwa, jedno lub wcale. Natomiast nas interesuje taki przypadek, że rozwiązanie jest jedno (bo styczna ma jeden punkt wspólny z okręgiem) i stąd warunek \(\displaystyle{ \Delta=0}\).