prosta + parametr

[Master302]

Oblicz, dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) do prostej \(\displaystyle{ l}\) o równaniu \(\displaystyle{ y=x+m}\) należy punkt \(\displaystyle{ P}\), z którego styczne poprowadzone do okręgu o równaniu \(\displaystyle{ (x-2)^2+(y-3)^2=6,25}\) przecinają się pod katem \(\displaystyle{ 60}\) stopni. z góry dzięki za pomoc

[bb314]

zbiór wszystkich punktów P to okrąg o środku tym samym co środek naszego okręgu i promieniu dwa razy większym, czyli o równaniu
\(\displaystyle{ (x-2)^2+(y-3)^2=25}\)
nasza prosta l musi być styczna do tego okręgu lub przecinać go
podstawiamy równanie prostej do równania okręgu
\(\displaystyle{ (x-2)^2+(x+m-3)^2=25}\)
\(\displaystyle{ x^2-4x+4+x^2+m^2+9+2mx-6x-6m-25=0}\)
\(\displaystyle{ 2x^2+(2m-10)x+m^2-6m-12=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=(2m-10)^2-4\cdot2\cdot(m^2-6m-12)}\)
szukane \(\displaystyle{ m}\) to rozwiązanie nierówności \(\displaystyle{ \Delta \ge 0}\)