Wyznaczanie współrzędnych pkt wspólnych prostej i okręgu

[El_Konrad]

Witam

Ponownie mam problem z układem równań
Nie miałem jeszcze równań kwadratowych i albo ja robię coś źle albo po prostu osoba bez znajomości równań kwadratowych tego nie rozwiąże.

Treść: Wyznacz współrzędne pkt wspólnych prostej l i okręgu o(S,r).
Kilka podpunktów udało mi się zrobić, ale z tymi nie daję rady więc proszę o pomoc.
\(\displaystyle{ o: x^{2} + y^{2} - 8x + 12y + 44 = 0}\)

\(\displaystyle{ l: y=x-10}\)

Najpierw sobie wyliczyłem punkt \(\displaystyle{ S}\) oraz promień \(\displaystyle{ r}\), wyliczyłem odległość między punktem \(\displaystyle{ S}\), a prostą \(\displaystyle{ l}\) - może i niepotrzebnie, ale od razu z góry ustaliłem czy będą punkty wspólne czy też nie. Jak będą to liczę, jak nie to koniec
Będą punkty wspólne...

Robię układ równań, do równania okręgu w miejsce \(\displaystyle{ y}\) wstawiam \(\displaystyle{ y=x-10}\).
\(\displaystyle{ x ^{2} + (x-10) ^{2}-8x+12(x-10)+44=0}\)

\(\displaystyle{ x ^{2} + x^{2} -20x+100-8x+12x-120+44=0}\)

\(\displaystyle{ 2x ^{2} -16x+24=0 | :2}\)

Dochodzę do tego momentu i stoję Żadnego wzoru skróconego mnożenia nie ma, nic nie wyłączę przed nawias - nie wiem co dalej. Czy da radę to zrobić nie znając metody rozwiązywania równań kwadratowych? Jeśli się da to proszę o pomoc
\(\displaystyle{ x ^{2} -8x+12=0}\)

[pyzol]

Szukaj wzoru skróconego mnożenia:
\(\displaystyle{ x^2-8x+16-4=0\\
x^2-8x+16=4}\)

[El_Konrad]

\(\displaystyle{ x^2-8x+16=4}\)
Widzę...
\(\displaystyle{ (x-4)^2=4}\)
I co dalej?
\(\displaystyle{ x-4=4\\x=8}\)

Ogólnie to co napisałem pod "I co dalej" nie ma sensu. Tak się robi jak po drugiej stronie jest 0, ponieważ iloczyn jest zerem jeśli jeden z czynników jest zerem więc wtedy tak można zapisać, ale po drugiej mam 4 i nadal stoję
Kolejna wskazówka?

[pyzol]

I co dalej?

Pierwiastkujesz stronami:
\(\displaystyle{ \sqrt{(x-4)^2}=\sqrt{4}\\
|x-4|=2\\
x-4=2 \vee x-4=-2}\)
Wszystko zrozumiałe?

[El_Konrad]

Zrozumiałe
Wielkie dzięki, zobaczę teraz czy z innymi przykładami da radę zrobić podobny "myk".
Nawet myśl mi nie przeszła aby to spierwiastkować, dzięki.-- 30 wrz 2012, o 17:52 --\(\displaystyle{ o:x^2+y^2=41\\l:x-y=1 \Rightarrow x=y+1\\(y+1)^2+y^2=41\\y^2+2y+1+y^2=41\\2y^2+2y-40=0 |:2\\y^2+y-20=0}\)
Brak pomysłu, podpowiedź?

W innym przykładzie też doszedłem do:
\(\displaystyle{ y^2+6y+8=0}\)
Ale wykombinowałem podobnie jak ty i udało się :
\(\displaystyle{ y^2+6y+9-1=0\\y^2+6y+9=1\\(y+3)^2=1 | \sqrt{}\\\left| y+3\right|=1\\y=-2 \vee y=-4}\)

[norwimaj]

\(\displaystyle{ y^2+y-20=0}\)
Brak pomysłu, podpowiedź?

\(\displaystyle{ y^2+2\cdot\frac12y+\ldots=0}\)
i tu też da się to zwinąć do wzoru skróconego mnożenia. Wszystkie równania kwadratowe da się tak rozwiązywać.