Podział odcinka na trzy części

[madzix2]

Witam! mam problem z zadaniem:

Dany jest odcinek o końcach \(\displaystyle{ A=(-1,-7)}\), \(\displaystyle{ B=(3,-11)}\). Wyznacz punkty \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ R}\) dzielące odcinek \(\displaystyle{ AB}\) na trzy równe części.

Poproszę o wskazówki i ew. wytłumaczenie czemu tak a nie inaczej

[kamil13151]

Szybko z wektorów: \(\displaystyle{ \frac{1}{3} \vec{AB}= \vec{AP}}\).

[madzix2]

Zanim założyłam wątek już tak zrobiłam, obliczyłam odległość między punktami \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) (wyszło \(\displaystyle{ |AB|=4 \sqrt{2}}\) ), zapisałam że \(\displaystyle{ \frac{1}{3} |AB|= |AP|}\), oznaczyłam punkt \(\displaystyle{ P}\) jako \(\displaystyle{ P=(x,y)}\) i wyznaczyłam wzór na odległość punktu \(\displaystyle{ |AP|= \sqrt{ (x+1)^2 + (y+7)^2 }}\) , podstawiłam za \(\displaystyle{ |AP|= \frac{1}{3} \cdot 4 \sqrt{2}}\) i utknęłam.

Czy moje rozumowanie jest dobre? Jeśli tak to co dalej?

[kamil13151]

Zauważ, że uzyskujesz równanie z dwiema niewiadomymi, które jest nierozwiązywalne w takiej postaci, musisz uzależnić jedną zmienną od drugiej albo dodać kolejne równanie, które ma być spełniane uzyskując układ równań. Wyznacz prostą, na której leżą dane punkty.

Po nauczeniu się tego sposobu proponuję jednak zapoznanie się z moim, jest znacznie szybszy.

[Jakub Gurak]

Strasznie autor wątku komplikuje zadanie.
\(\displaystyle{ 3-(-1)=4 \ \ (-7)-(-11)=4}\)
Rozpatrując trójkąty prostokątne \(\displaystyle{ ABC, APD, ARE}\) o przyprostokątnych równoległych do osi układu, z tw. talesa \(\displaystyle{ P=\left( -1+ \frac{4}{3},-7- \frac{4}{3}\right) = \left( \frac{1}{3},-8 \frac{1}{3} \right)}\)
\(\displaystyle{ R=\left( -1+ \frac{2 \cdot 4}{3},-7- \frac{2 \cdot 4}{3}\right) = \left(1 \frac{2}{3},-9 \frac{2}{3} \right)}\)


Jest też konsrukcja podziału odcinka na równe części.

Ukryta treść:    

Rysujesz odcinek \(\displaystyle{ AB}\). Z punktu \(\displaystyle{ A}\) prowadzisz półprostą nie zawierającą tego odcinka. Na tej półprostej odmierzasz odcinki jednostkowe - tyle ich na ile części dzielisz odcinek. Z końca ostatniego odcinka \(\displaystyle{ M}\) (najdalszego względem punku \(\displaystyle{ A}\)) prowadzisz odcinek do punktu \(\displaystyle{ B}\). Następnie prowadzisz proste równoległe do odcinka \(\displaystyle{ MB}\) przechodzące przez kolejne końce odcinków na półprostej. Podzielą one odcinek \(\displaystyle{ u}\) na równe części.

Wynika to z tw. Talesa.

[madzix2]

A, już rozumiem Po prostu wróciłam po dłuższej nieobecności do szkoły i dostaliśmy plik zadań do rozwiązania, a niestety ominęły mnie lekcje o wektorach, więc wszystko próbowałam liczyć z tego co wcześniej umiałam.
Dzięki za pomoc