współrzędne punktu

coolgirl · Post autor: **coolgirl** » 25 wrz 2012, o 20:56

Oblicz współrzędne punktu \(\displaystyle{ C}\) odległego od początku układu o \(\displaystyle{ 13}\) jednostek, wiedząc, że leży on na symetralnej odcinka \(\displaystyle{ AB}\), gdzie \(\displaystyle{ A=(3,2), B=(7,4)}\).

doszłam do wnioski że jedna współrzędna będzie \(\displaystyle{ (0,13)}\) lecz w odpowiedzi jest jeszcze jeden wynik \(\displaystyle{ (10,4; -7,8)}\)
wyznaczyłam środek prostej \(\displaystyle{ AB}\)... i co dalej ?

777Lolek · Post autor: **777Lolek** » 25 wrz 2012, o 21:17

Środek odcinka (prosta jest nieskończona, to raczej nie znajdziesz środka prostej;) ) \(\displaystyle{ AB}\) jest punktem który należy do symetralnej odcinka \(\displaystyle{ AB}\) , do której należy także punkt \(\displaystyle{ C}\) . Masz więc współczynnik kierunkowy prostej zawierającej symetralną (bo jest prostopadła do prostej zawierającej odcinek \(\displaystyle{ AB}\) ) oraz współrzędne punktu należącego do symetralnej. Możesz z tego obliczyć funkcję symetralnej, a następnie współrzędne punktu \(\displaystyle{ C}\) .

Marcinek665 · Post autor: **Marcinek665** » 25 wrz 2012, o 21:19

Liczymy równanie symetralnej \(\displaystyle{ AB}\). Wiadomo, że symetralna to prosta będąca zbiorem punktów równoodległych od \(\displaystyle{ A}\) i od \(\displaystyle{ B}\), więc możemy zapisać równość:

\(\displaystyle{ \sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2}=\sqrt{(x-7)^2+(y-4)^2}}\)

Co daje:

\(\displaystyle{ y=13-2x}\)

Skoro punkt \(\displaystyle{ C}\) jest odległy o \(\displaystyle{ 13}\) jednostek od początku układu współrzędnych, to leży gdzieś na okręgu o równaniu

\(\displaystyle{ x^2+y^2=169}\).

Pozostaje więc rozwiązać układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} y=13-2x \\ x^2+y^2=169 \end{cases}}\)

który daje rozwiązania \(\displaystyle{ (0,13)}\) oraz \(\displaystyle{ \left( \frac{52}{5}, -\frac{39}{5}\right)}\).

coolgirl · Post autor: **coolgirl** » 25 wrz 2012, o 21:21

wielkie dzięki