położenie prostych na płaszczyźnie

[coolgirl]

Napisz równanie symetralnej odcinka, którego końcami są punkty przecięcia się prostej o równaniu \(\displaystyle{ 2x + 3y + 6 = 0}\) z osiami układu.

[Mistrz]

Jaki problem ma Koleżanka z tym zadankiem?

[coolgirl]

zaćmiło mnie kompletnie.

[Mistrz]

Podpowiedź:
Jak wstawi Koleżanka \(\displaystyle{ x=0}\) to dostanie \(\displaystyle{ 3y+6=0}\), czyli \(\displaystyle{ y=-2}\), a jak \(\displaystyle{ y=0}\) to \(\displaystyle{ 2x+6=0}\), czyli \(\displaystyle{ x=-3}\). To oznacza, że punkty przecięcia tej prostej z osiami układu współrzędnych to \(\displaystyle{ (0,-2)}\) oraz \(\displaystyle{ (-3,0)}\).

[coolgirl]

nie wiem czemu ale nie wychodzi mi 6x-4y+5=0.. nie wiem gdzie mam bład robię tak jak piszesz

[Mistrz]

Ok, to środek odcinka o końcach w \(\displaystyle{ (-3,0)}\), \(\displaystyle{ (0,-2)}\) ma współrzędne \(\displaystyle{ (-1.5,-1)}\). Współczynnik kierunkowy prostej \(\displaystyle{ 2x+3y+6=0}\) (lub równoważnie prostej \(\displaystyle{ y=-\frac{2}{3}x-2}\)) to \(\displaystyle{ -\frac{2}{3}}\). Zatem szukana prosta (symetralna) przechodzi przez \(\displaystyle{ (-1.5,-1)}\) i ma współczynnik kierunkowy \(\displaystyle{ a = \frac{3}{2} = 1.5}\). Wtedy \(\displaystyle{ -1 = 1.5\cdot (-1.5) + b}\), czyli \(\displaystyle{ -1 = -2.25 +b}\), czyli \(\displaystyle{ b=1.25}\) i stąd szukana prosta ma równanie \(\displaystyle{ y = 1.5x+1.25}\) lub równoważnie \(\displaystyle{ 6x-4y+5=0}\).

[coolgirl]

wielkie dzięki zrobiłam głupi błąd przy końcu i wszystko na tym zaważyło

[lukasz1804]

Może warto zwrócić uwagę na równoważną definicję symetralnej odcinka, jako prostej równo odległej od obu końców odcinka?

Weźmy dowolny punkt \(\displaystyle{ (x,y)}\) na symetralnej. Wtedy \(\displaystyle{ \sqrt{x^2+(y+2)^2}=\sqrt{(x+3)^2+y^2}}\). Podnosząc strony otrzymanego równania do kwadratu i redukując wyrazy podobne, dostajemy \(\displaystyle{ 4y+4=6x+9}\), tj. \(\displaystyle{ 6x-4y+5=0}\).