układ równań opisujących prostą l

[majkel2805]

Prosta \(\displaystyle{ l}\) jest wspólną krawędzią dwóch płaszczyzn określonych równaniami \(\displaystyle{ x+y+z=2}\) i \(\displaystyle{ x=1}\). Podaj ukłąd równań opisujących prostą, która jest rzutem prostokątnym prostej \(\displaystyle{ l}\) na płaszczyznę \(\displaystyle{ YOZ}\).

[Phobos71]

\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y+z=2 \\ x=1 \end{cases}}\)

Obliczam współrzędne punktu \(\displaystyle{ P}\) leżącego na prostej \(\displaystyle{ l}\):
\(\displaystyle{ x=1 \wedge np. \ y=0 \Rightarrow 1+z=2 \Rightarrow z=1 \\ P\left( 1,0,1\right)}\)

Obliczam wektor kierunkowy \(\displaystyle{ \vec{v _{l} }}\) prostej \(\displaystyle{ l}\):
\(\displaystyle{ \left[ 1;1;1\right] \times \left[ 1;0;0\right] = \left[ 0;1;-1\right] \\ \vec{v _{l} }=\left[ 0;1;-1\right]}\)

Wyznaczam równanie parametryczne prostej \(\displaystyle{ l}\):
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=1 \\ y=t \\ z=-t+1 \end{cases}, t \in R}\)

Wyznaczam równanie płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi _{Y0Z}}\), przecinającą prostą \(\displaystyle{ l}\):
\(\displaystyle{ Ax+D=0}\)
Podstawiam za niewiadome \(\displaystyle{ y,z}\)wartości z równania parametrycznego prostej \(\displaystyle{ l}\):
\(\displaystyle{ A+D=0 \Rightarrow D=-A \\
\pi _{Y0Z} : \ x-1=0 \\
\vec{n _{\pi _{Y0Z}} }=\left[ 1;0;0\right]}\)

Wyznaczam równanie płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi _{2}}\), zawierającą prostą \(\displaystyle{ l}\):
\(\displaystyle{ \vec{n _{\pi _{2} } } = \vec{n _{\pi _{Y0Z}} } \times \vec{v _{l} } = \left[ 1;0;0\right] \times \left[ 0;1;-1\right] = \left[ 0;1;1 \right] \\
\pi _{2} : \ 0x+1y+1z+D=0 \\
\begin{cases} P\left( 1,0,1\right) \\ \pi _{2} : \ 0x+1y+1z+D=0 \end{cases} \Rightarrow D=-1 \\
\pi _{2} : \ y+z-1=0}\)

Płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi _{Y0Z}}\) i \(\displaystyle{ \pi _{2} }}\) wyznaczają rzut prostopadły prostej \(\displaystyle{ l}\) na płaszczyznę \(\displaystyle{ \pi _{Y0Z}}\):
\(\displaystyle{ \begin{cases} x-1=0 \\ y+z-1=0 \end{cases}}\)

[Qń]

\(\displaystyle{ \begin{cases} x-1=0 \\ y+z-1=0 \end{cases}}\)

Rzut dowolnej prostej na płaszczyznę \(\displaystyle{ OYZ}\) powinien leżeć na tej płaszczyźnie - i już chociażby z tego powodu widać, że z wynikiem jest coś nie tak. Inny powód jest taki, że to co wyznaczyłeś, to w dalszym ciągu wyjściowa prosta \(\displaystyle{ l}\).

Ja proponuję rozumowanie następujące: z definicji rzut prostej (nieprostopadłej do płaszczyzny rzutowania) to przecięcie płaszczyzny rzutowania z płaszczyzną prostopadłą do płaszczyzny rzutowania i zawierającą wyjściową prostą.

Płaszczyzna rzutowania to oczywiście \(\displaystyle{ x=0}\). Pęk płaszczyzn zawierających prostą \(\displaystyle{ l}\) to:
\(\displaystyle{ a\cdot (x+y+z-2)+b\cdot (x-1)=0}\)
czyli:
\(\displaystyle{ (a+b)x +ay +az -2a-b=0}\)
Wektor normalny takiej płaszczyzny to \(\displaystyle{ (a+b,a,a)}\) i aby była ona prostopadła do płaszczyzny rzutowania, to musi on być prostopadły do wektora normalnego płaszczyzny rzutowania \(\displaystyle{ (1,0,0)}\). Stąd oczywiście \(\displaystyle{ a=-b}\), więc równanie szukanej płaszczyzny prostopadłej to \(\displaystyle{ y+z-1=0}\).

Ostatecznie więc nasz rzut to:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=0\\ y+z-1=0\end{cases}}\)

Do wyniku można też dojść inaczej, jeśli zauważymy, że prosta \(\displaystyle{ l}\) jest równoległa do płaszczyzny rzutowania - wtedy wystarczy zapisać ją w postaci:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=1\\ y+z-1=0\end{cases}}\)
i stwierdzić, że po przesunięciu równoległym do płaszczyzny \(\displaystyle{ OYZ}\) będzie miała postać jak wyżej.

Q.

[Phobos71]

Płaszczyzna rzutowania to oczywiście \(\displaystyle{ x=0}\)

Ogólne równanie płaszczyzny wygląda tak: \(\displaystyle{ \pi: \ Ax+By+Cz+D=0}\), wektorem prostopadłym do płaszczyzny \(\displaystyle{ Y0Z}\), jest wektor \(\displaystyle{ \vec{n}=\left[ 1;0;0\right]}\). Równanie płaszczyzny \(\displaystyle{ Y0Z}\) przyjmuje więc postać: \(\displaystyle{ \pi: \ x+D=0}\). Skąd wiesz, że \(\displaystyle{ D=0}\) ?

[Qń]

Równanie płaszczyzny \(\displaystyle{ Y0Z}\) przyjmuje więc postać: \(\displaystyle{ \pi: \ x+D=0}\). Skąd wiesz, że \(\displaystyle{ D=0}\) ?

Płaszczyzna \(\displaystyle{ OYZ}\) to z definicji płaszczyzna \(\displaystyle{ x=0}\). Bo to płaszczyzna rozpięta na osiach \(\displaystyle{ OY}\) i \(\displaystyle{ OZ}\).

Q.