Narysuj czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\), jeśli wiesz, że jego kolejne wierzchołki są wyznaczone przez wektory \(\displaystyle{ \vec{AB} =[6, 7], \ \vec{BC} =[-5, 7], \ \vec{CD} =[-4, -7], \ \vec{DA} =[3, -7] .}\) Oblicz pole tego wielokąta.
Punkty \(\displaystyle{ K = (1, 2), \ L = (2, 3), \ M = (-1, 5)}\) są środkami boków odpowiednio \(\displaystyle{ AB, \ BC}\) i \(\displaystyle{ AC}\) trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\). Wyznacz współrzędne wierzchołków trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) i oblicz jego obwód.
Narysuj czworokąt i oblicz pole
-
jeden
- Użytkownik
- Posty: 2
- Rejestracja: 23 wrz 2012, o 11:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Krosno
- Podziękował: 3 razy
Narysuj czworokąt i oblicz pole
Ostatnio zmieniony 23 wrz 2012, o 12:04 przez loitzl9006, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - częściowy brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm . Używaj LaTeX-a do wszystkich wyrażeń matematycznych. Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach[latex] [/latex]
Powód: Nieczytelny zapis - częściowy brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm . Używaj LaTeX-a do wszystkich wyrażeń matematycznych. Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach
-
loitzl9006
- Moderator
- Posty: 3050
- Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Starachowice
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 816 razy
Narysuj czworokąt i oblicz pole
Możesz przyjąć, że punkt \(\displaystyle{ A}\) znajduje się np. w początku układu współrzędnych (pole czworokąta nie zależy od wyboru tego punktu). Na podstawie przyjętych współrzędnych punktu \(\displaystyle{ A}\) i podanych współrz. wektorów możesz wyznaczyć współrzędne punktów kolejno: \(\displaystyle{ B, \ C, \ D.}\) Aby policzyć pole tego czworokąta, możesz np. podzielić czworokąt na dwa trójkąty i policzyć pole każdego z nich (wzór na pole trójkąta o danych współrzędnych jego wierzchołków jest w tablicach matematycznych na maturę).
Co do drugiego zadania to skorzystaj z tego, że:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \mathrm{1.} \ \ x_K= \frac{x_A+x_B}{2} \\ \mathrm{2.} \ \ y_K= \frac{y_A+y_B}{2} \\ \mathrm{3.} \ \ x_L= \frac{x_B+x_C}{2} \\ \mathrm{4.} \ \ y_L= \frac{y_B+y_C}{2} \\ \mathrm{5.} \ \ x_M= \frac{x_A+x_C}{2} \\ \mathrm{6.} \ \ y_M= \frac{y_A+y_C}{2} \end{cases}}\)
Do rozwiązania jest układ sześciu równań z sześcioma niewiadomymi.
Odejmuj kolejno odpowiednie równania, np. od pierwszego piąte (pozbędziesz się \(\displaystyle{ x_A}\), uzyskasz zależność pomiędzy \(\displaystyle{ x_B}\) a \(\displaystyle{ x_C}\)):
\(\displaystyle{ x_K - x_M = \frac{x_A+x_B}{2} - \frac{x_A+x_C}{2} = \frac{x_B-x_C}{2}}\)
od drugiego szóste (pozbędziesz się \(\displaystyle{ y_A}\) i uzyskasz zależność pomiędzy \(\displaystyle{ y_B}\) a \(\displaystyle{ y_C}\)).
Te uzyskane zależności wstawiasz odpowiednio do trzeciego i szóstego równania, i masz do rozwiązania równania z jedną niewiadomą. Dalej powinno być prosto (metoda podstawiania).
Co do drugiego zadania to skorzystaj z tego, że:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \mathrm{1.} \ \ x_K= \frac{x_A+x_B}{2} \\ \mathrm{2.} \ \ y_K= \frac{y_A+y_B}{2} \\ \mathrm{3.} \ \ x_L= \frac{x_B+x_C}{2} \\ \mathrm{4.} \ \ y_L= \frac{y_B+y_C}{2} \\ \mathrm{5.} \ \ x_M= \frac{x_A+x_C}{2} \\ \mathrm{6.} \ \ y_M= \frac{y_A+y_C}{2} \end{cases}}\)
Do rozwiązania jest układ sześciu równań z sześcioma niewiadomymi.
Odejmuj kolejno odpowiednie równania, np. od pierwszego piąte (pozbędziesz się \(\displaystyle{ x_A}\), uzyskasz zależność pomiędzy \(\displaystyle{ x_B}\) a \(\displaystyle{ x_C}\)):
\(\displaystyle{ x_K - x_M = \frac{x_A+x_B}{2} - \frac{x_A+x_C}{2} = \frac{x_B-x_C}{2}}\)
od drugiego szóste (pozbędziesz się \(\displaystyle{ y_A}\) i uzyskasz zależność pomiędzy \(\displaystyle{ y_B}\) a \(\displaystyle{ y_C}\)).
Te uzyskane zależności wstawiasz odpowiednio do trzeciego i szóstego równania, i masz do rozwiązania równania z jedną niewiadomą. Dalej powinno być prosto (metoda podstawiania).