Styczne do paraboli, odległość między stycznymi

[kasik913]

Bardzo proszę o pomoc
1.
Jeden z końców odcinka leży na paraboli \(\displaystyle{ y = x ^{2}}\), a drugi na prostej \(\displaystyle{ y = 2x-6}\), przy czym odcinek ten jest prostopadły do osi OX. Wykaż, że długość tego odcinka jest nie mniejsza od 5.

2.
Prosta przechodząca przez punkty \(\displaystyle{ A(0, −3) B(−1, 0)}\) przecina parabolę \(\displaystyle{ y = -x ^{2} -4x-1}\) w punktach C i D. W punktach C i D poprowadzono styczne do paraboli. Wyznacz punkt przecięcia się stycznych.

3.
Wyznacz współrzędne punktu \(\displaystyle{ M}\) należącego do prostej \(\displaystyle{ 2x + y + 3 = 0}\) i takiego, że suma kwadratów jego odległości od punktów \(\displaystyle{ A(0, 1) B(2, 0)}\) jest najmniejsza.

4.
Wyznacz równania stycznych do krzywej \(\displaystyle{ x^{2} + \frac{ y^{2} }{4}= 1}\) prostopadłych do prostej \(\displaystyle{ x+y-3=0}\). Oblicz odległość między stycznymi oraz między punktami styczności.

[scyth]

3.
\(\displaystyle{ M=(x,-2x-3) \\
|AM|^2+|BM|^2=\sqrt{(x-0)^2+(-2x-3-1)^2}^2+\sqrt{(x-2)^2+(-2x-3-0)^2}^2 =\\=
x^2+(-2x-4)^2+(x-2)^2+(-2x-3)^2=10x^2+24x+29}\)
To jest parabola, trzeba wyznaczyć jej wierzchołek (a to już chyba proste).

[kamil13151]

1) Narysuj sobie parabolę i daną prostą, następnie zauważ, że długość tego odcinka to \(\displaystyle{ x^2-(2x-6)=(x-1)^2+5 \ge 5}\).

2) Źle podałaś, bo prosta i parabola się nie przecinają.

[scyth]

4. Prosta prostopadła ma równanie \(\displaystyle{ y=x+b}\). Wstawiamy:
\(\displaystyle{ x^2+\frac{(x+b)^2}{4}=1 \\
4x^2+x^2+2xb+b^2=4 \\
5x^2+2xb+b^2-4=0}\)
Interesuje nas dla jakich \(\displaystyle{ b}\) to równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie (wtedy prosta jest styczna), czyli:
\(\displaystyle{ \Delta = 0 \\
(2b)^2-4 \cdot 5 \cdot (b^2-4) = 0}\)
A z tym już chyba sobie też poradzisz.