równanie krzywej

[majkel2805]

napisać równanie krzywej będącej zbiorem wszystkich pkt jendnakowo oddalonych od okręgu \(\displaystyle{ x ^{2}+y ^{2} =100}\) i pkt P(6,0)

[kropka+]

... i pkt. P(6,0)

O co chodzi z tym punktem?
Rozumiem, że krzywa ma przechodzić przez ten punkt. Zrób rysunek i pomyśl jaką figurą geometryczną jest ta krzywa.

[ares41]

kropka+, niby jak ten punkt ma leżeć na tej krzywej ?

Zadanie polega na znalezieniu takiej krzywej, której punkty są równoodległe od okręgu i od zadanego punktu.

Należy zapisać w postaci ogólnej zależność opisującą odległość dowolnego punktu od okręgu i porównać ją ze wzorem na odległość dwóch punktów.

[kropka+]

ares41, myślę, że się mylisz. Jak Twoim zdaniem wygląda Twoja krzywa? Ja widzę tylko dwa punkty spełniające Twoje założenia.

[ares41]

Mając równanie stycznej od okręgu \(\displaystyle{ k:x_Ax \pm \sqrt{10-x_A^2} y-100=0, \ x_A\in \left[ -10,10 \right]}\) wyznaczamy odległość punktu \(\displaystyle{ B(x_0,y_0)}\) od tej stycznej. Następnie z równania \(\displaystyle{ d(B,k)=d(B,P)}\) rugujemy równanie krzywej \(\displaystyle{ F(x_0,y_0)=0}\), w ogólności w postaci uwikłanej, lub jeśli da się ładniej zapisać - w postaci \(\displaystyle{ y_0(x_0)}\)

[cosinus90]

Popieram zdanie kolegi ares41. W zasadzie jest wyraźnie napisane, co trzeba zrobić w zadaniu (choć majkel2805 trochę nieskładnie to napisał), a poza tym okrąg o podanym równaniu nie przechodzi przez podany punkt - więc niby jaka miałaby być inna interpretacja tej treści?

[kropka+]

Mając równanie stycznej od okręgu \(\displaystyle{ k:x_Ax \pm \sqrt{10-x_A^2} y-100=0, \ x_A\in \left[ -10,10 \right]}\)

Równanie stycznej do tego okręgu w punkcie \(\displaystyle{ A(x _{A},y _{A})}\) ma postać
\(\displaystyle{ x_Ax + \sqrt{100-x_A^2} y-100=0, \ x_A\in \left[ -10,10 \right]}\)

Poza tym odległość punktu od okręgu jest równa jego odległości od konkretnej stycznej (takiej, od której odległość jest najmniejsza) a nie od dowolnej spośród nieskończenie wielu. Trzeba więc dołożyć założenie, że B leży na prostej OA (O to środek okręgu).

Moja interpretacja była taka: krzywa równoodległa od okręgu, przechodząca przez punkt P to okrąg współśrodkowy z danym i przechodzący przez P.

[ares41]

kropka+, w równaniu stycznej ma być \(\displaystyle{ \pm}\) a nie sam \(\displaystyle{ +}\), przecież rugując \(\displaystyle{ y}\) z równania \(\displaystyle{ x ^{2}+y ^{2} =100}\) mamy \(\displaystyle{ y=\pm \sqrt{100-x^2}}\).

Poza tym odległość punktu od okręgu jest równa jego odległości od konkretnej stycznej (takiej, od której odległość jest najmniejsza) a nie od dowolnej spośród nieskończenie wielu.

Owszem, ale zauważ, że dla różnych punktów będą to różne styczne. Fakt, że punkty \(\displaystyle{ (0,0) ,B}\) leżą na prostej prostopadłej do stycznej dodaje nam kolejne równanie, za pomocą którego możemy wyrugować, w połączeniu z warunkiem \(\displaystyle{ d(B,k)=d(B,P)}\), szukane równanie krzywej.

Jednak idea pozostaje ta sama. Poszukujemy równania krzywej \(\displaystyle{ F(x_0,y_0)=0}\)

W rzeczywistości, fakt, że \(\displaystyle{ B}\) leży na \(\displaystyle{ OA}\) ułatwia nam zadanie o tyle, że wtedy wiemy, że \(\displaystyle{ d(B,k)=\left|10- \sqrt{x_0^2+y_0^2}\right|}\)

Moja interpretacja była taka: krzywa równoodległa od okręgu, przechodząca przez punkt P to okrąg współśrodkowy z danym i przechodzący przez P.

Zauważ, że z tego wynika, że \(\displaystyle{ P}\) należy do tej krzywej czyli jego odległość, jako punktu tej krzywej, od punktu \(\displaystyle{ P}\) jest równa zero. Natomiast jego odległość od okręgu wynosi \(\displaystyle{ 4}\) (dlaczego ? ). A przecież te odległości powinny być równe.

[bb314]

punkty muszą leżeć wewnątrz okręgu

odległość \(\displaystyle{ d_1}\) punktu \(\displaystyle{ (x,y)}\) od punktu \(\displaystyle{ (6,0)}\)

\(\displaystyle{ d_1=\sqrt{(x-6)^2+y^2}}\)

odległość \(\displaystyle{ d_2}\) punktu \(\displaystyle{ (x,y)}\) od okręgu jest różnicą odległości tego punktu od środka okręgu i jego promienia

\(\displaystyle{ d_2=10-\sqrt{x^2+y^2}}\)

\(\displaystyle{ d_1=d_2\ \ \ \ \ \ \to\ \ \ \ \color{blue}\sqrt{(x-6)^2+y^2}=10-\sqrt{x^2+y^2}}\)