Równanie płaszczyzny z trzech punktów

[this]

Witam.
Mając trzy punkty w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) mam znaleźć równanie płaszczyzny.
Nie mam problemu ze zrobieniem tego, w książce mam ładnie opisane jak to zrobić:
Po prostu montuje z tego układ równań gdzie niewiadome to współrzędne punktów = 1.
Np. z punktów:
\(\displaystyle{ (15,5,2)(6,2,1)(10,3,2)}\)
Robi się układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases}15x+5y+2z=1\\6x+2y+z=1\\10x+3y+2z=1 \end{cases}}\)
Potem zredukować itd. i wychodzi równanie.
Wszystko ładnie, tylko nie rozumiem co te jedynki reprezentują, skąd się wzięły, dlaczego =1?

Dzięki.

[scyth]

Wynika to z macierzowego zapisu płaszczyzny. Jest to wytłumaczone na wikipedii:
... rzy_punkty

[this]

Jest to opisane jako "płaszczyzna przechodząca przez trzy punkty", tak się zastanawiam: czy to działa tylko dla trzech punktów w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\), czy zadziała też jeżeli mamy \(\displaystyle{ n}\) punktów w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\)?

[Qń]

Np. z punktów:
\(\displaystyle{ (15,5,2)(6,2,1)(10,3,2)}\)
Robi się układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases}15x+5y+2z=1\\6x+2y+z=1\\10x+3y+2z=1 \end{cases}}\)

Nigdy nie słyszałem o takiej metodzie - dziwna to zresztą metoda, z której wynika, że płaszczyzna przechodząca przez punkty \(\displaystyle{ (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}\) składa się z jednego punktu \(\displaystyle{ (1,1,1)}\).

Musiałeś coś pokręcić.

Q.

[this]

Jeżeli płaszczyzna przechodzi przez \(\displaystyle{ (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}\) to wg. tej metody będzie miała postać:
\(\displaystyle{ x+y+z=1}\)

[Qń]

A, czyli zamiast \(\displaystyle{ x,y,z}\) zapewne powinno być \(\displaystyle{ A,B,C}\) - bo wyznaczamy wektor normalny płaszczyzny.

Zamiast jedynki może stać dowolna stała, byle w każdym równaniu taka sama - równania te są bowiem postaci:
\(\displaystyle{ Ax_i+By_i+Cz_i=-D}\)
gdzie niewiadomymi są \(\displaystyle{ A,B,C}\).

Metoda psuje się jednak, gdy płaszczyzna przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ (0,0,0)}\)

Q.

[this]

Ok, dzięki, powoli mi się rozjaśnia.
Jeszcze tylko pozwolę sobie powtórzyć wcześniejsze pytanie: czy to działa też z większą liczbą wymiarów?

[Qń]

Tak, trzeba tylko pamiętać, że gdy jesteśmy w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\), to \(\displaystyle{ n}\) punktów wyznacza hiperpłaszczyznę, a nie płaszczyznę i podobnie jak poprzednio metoda nie działa gdy ta hiperpłaszczyzna przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ (0,0,\ldots , 0)}\).

Q.