Parametr, okręgi

[El_Konrad]

Witam

Nie mogę znaleźć odpowiedniego działu o okręgach więc zamieszczam to w dziale funkcji kwadratowych tak samo jak umieszczone jest zadanie w podręczniku.
Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ x \in R}\) okręgi:
\(\displaystyle{ (x-m) ^{2} + (y+2) ^{2} =20}\)
\(\displaystyle{ (x+1) ^{2} + (y-2m) ^{2}=5}\)
Są wewnętrznie styczne. Oblicz współrzędne punktu styczności.

Problem mam z obliczeniem punktu styczności. Zaznaczam, że nie miałem jeszcze funkcji kwadratowych więc jeśli jest jakiś sposób aby obliczyć to bez używania funkcji kwadratowych to proszę o wskazówkę.
Nie będę pisał tych obliczeń (jak wyliczyłem parametr "\(\displaystyle{ m}\)", bo wychodzi tak samo jak w odpowiedziach), tylko:
Dla \(\displaystyle{ m \in {0, -2}}\) okręgi są styczne wewnętrznie.

Próbowałem liczyć punkt styczność, tzn.
\(\displaystyle{ \begin{cases}(x-m) ^{2} + (y+2) ^{2} =20 \\ (x+1) ^{2} + (y-2m) ^{2}=5 \end{cases}}\)
W miejsce \(\displaystyle{ m}\) wstawiłem \(\displaystyle{ 0}\), policzyłem, ale wynik który otrzymałem nie zgadza się z odpowiedziami i ogólnie śmieszne liczby wyszły wiem, że jeszcze muszę policzyć dla \(\displaystyle{ m=-2}\), ale nawet nie liczyłem, bo jak punkt styczności dla \(\displaystyle{ m=0}\) nie wychodzi to i tamto pewnie nie wyjdzie.
Jak liczyłem? Podniosłem do kwadratu, uporządkowałem, odjąłem wyliczając \(\displaystyle{ x}\), później podstawiłem w miejsce \(\displaystyle{ x}\) to co mi wyszło i \(\displaystyle{ y}\) mi dziwnie wychodził, dziwnie tzn. źle

[justynian]

dla m=0 masz \(\displaystyle{ \begin{cases}(x) ^{2} + (y+2) ^{2} =20 \\ (x) ^{2} + (y) ^{2}=5 \end{cases}}\) odejmij stronami te równania a potem wyznacz y otwierając nawiasy. (na pewno nie było kwadratowej a masz okręgi ?)

[loitzl9006]

Dla \(\displaystyle{ m=0}\) nie będą styczne wewnętrznie; w ogóle nie będą styczne.



dla \(\displaystyle{ m=-2}\) też nie:



Żeby zrobić to zadanie, to trzeba skorzystać z warunku styczności wewnętrznej okręgów :

\(\displaystyle{ \left| S_1S_2 \right| = \left| r_1-r_2\right|}\)

gdzie \(\displaystyle{ S_1, \ S_2}\) to środki okręgów, zaś \(\displaystyle{ r_1, \ r_2}\) to promienie okręgów.

Żeby policzyć \(\displaystyle{ \left| S_1S_2 \right|}\), trzeba skorzystać ze wzoru na długość odcinka o podanych współrzędnych początku i końca. Dostaniesz równanie, które trzeba będzie podnieść stronami do kwadratu i doprowadzić do postaci ogólnej równania kwadratowego. Rozwiązanie będzie tak wyglądać:

\(\displaystyle{ m=- \frac{1}{2} - \frac{ \sqrt{6} }{4} \ \ \ \mbox{lub} \ \ \ m=- \frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{6} }{4}}\)

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x-m%29^2%2B%28y%2B2%29^2%3D20+and+%28x%2Bm%29^2%2B%28y-2m%29^2%3D5+where+m%3D-1%2F2+-+sqrt%286%29%2F4
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x-m%29^2%2B%28y%2B2%29^2%3D20+and+%28x%2Bm%29^2%2B%28y-2m%29^2%3D5+where+m%3D-1%2F2+%2B+sqrt%286%29%2F4

Ponieważ wyszły brzydkie liczby i nie zgadza się wynik z odpowiedziami, sprawdź czy na pewno dobrze przepisałeś równania okręgów.

[El_Konrad]

OMG... Przepraszam, źle przepisałem i od razu zaczynają się problemy.

@loitzl9006
Już poprawiłem. Teraz parametry wyjdą Ci tak samo jak i mi.

@justynian
Tak na pewno nie było kwadratowej.

Zawracam się ponownie z prośbą jak wyliczyć punkt styczności?

[bb314]

dla m=0 mamy
\(\displaystyle{ \begin{cases}(x) ^{2} + (y+2) ^{2} =20 \\ (x+1) ^{2} + (y) ^{2}=5 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}x ^{2} + y ^{2}+4y+4 =20 \\ x ^{2} +2x+1+ y ^{2}=5 \end{cases}}\)
po odjęciu pierwszego od drugiego mamy
\(\displaystyle{ 2x-4y-3=-15\ \ \ \to\ \ \ x=2y-6}\)
podstawiamy np. do równania pierwszego
\(\displaystyle{ (2y-6)^2+y^2+4y+4=20\\5y^2-20y+20=0\ \ /:5\\y^2-4y+4=0\\(y-2)^2=0\\\color{magenta}y=2}\)
\(\displaystyle{ x=2y-6\ \ \ \to\ \ \ \color{magenta}x=-2}\)

dla \(\displaystyle{ m=-2}\) liczenie jest podobne

otrzymujemy
dla \(\displaystyle{ m=0}\) okręgi o środkach w \(\displaystyle{ (0,-2)\ i\ (-1,0)}\) są styczne w punkcie \(\displaystyle{ (-2,2)}\)
dla \(\displaystyle{ m=-2}\) okręgi o środkach w \(\displaystyle{ (-2,-2)\ i\ (-1,-4)}\) są styczne w punkcie \(\displaystyle{ (0,-6)}\)

[El_Konrad]

Wielkie dzięki!

Doszedłem do tego, ale nie zauważyłem, że można podzielić to przez 5 a później to już końcówka, którą łatwo widać.
\(\displaystyle{ 5y^2-20y+20=0\ \ /:5}\)

Dla \(\displaystyle{ m=-2}\) też udało się wyliczyć, też trzeba było podzielić, a później to już tylko wzór skróconego mnożenia i koniec Do zamknięcia