Oblicz odległóść punktu od danej prostej.

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
Xender
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 9 gru 2008, o 18:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 2 razy

Oblicz odległóść punktu od danej prostej.

Post autor: Xender »

\(\displaystyle{ l:\left\{ \begin{aligned}x=2+t \\ y=-1-t\\z=1+t \end{aligned} \right.}\)

oraz punkt \(\displaystyle{ A(3,-1,0)}\)

W jaki sposób wyznaczyć tą odległość?
Phobos71
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 72
Rejestracja: 4 mar 2012, o 15:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 8 razy

Oblicz odległóść punktu od danej prostej.

Post autor: Phobos71 »

Wyznacz dowolny puntk na prostej \(\displaystyle{ l}\), np: \(\displaystyle{ B=\left[ 2, -1, 1]\right]}\), wyznacz wektor \(\displaystyle{ \vec{AB}}\) i skorzystaj ze wzoru na odległość punktu od prostej: \(\displaystyle{ d(A,l)= \frac{\left| \vec{v} \times \vec{AB} \right| }{\left| \vec{v}\right| }}\), gdzie \(\displaystyle{ \vec{v}}\) to wektor kierunkowy prostej \(\displaystyle{ l}\), \(\displaystyle{ \vec{v}=\left[ 1, -1, 1\right]}\)
Xender
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 9 gru 2008, o 18:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 2 razy

Oblicz odległóść punktu od danej prostej.

Post autor: Xender »

Rozwiązując to w ten sposób też będzie dobrze:

Wyznaczam taki punkt B na prostej L że \(\displaystyle{ \vec{AB}}\)prostopadły do wektora kierunkowego prostej L Korzystam przy tym z iloczynu skalarnego wektorów. I wtedy obliczam długość tego wektora?
Phobos71
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 72
Rejestracja: 4 mar 2012, o 15:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 8 razy

Oblicz odległóść punktu od danej prostej.

Post autor: Phobos71 »

Dobrze myślisz.
\(\displaystyle{ \vec{AB}=\left[ t-1, -t, t+1\right] \\
\vec{AB} \circ \left[ 1, -1, 1\right] = 0 \Rightarrow t=0 \\
\vec{AB} = \left[ -1, 0, 1\right] \\
\left| \vec{AB}\right| = \sqrt{2}}\)
Xender
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 9 gru 2008, o 18:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 2 razy

Oblicz odległóść punktu od danej prostej.

Post autor: Xender »

Wychodzi na to że nie wiem jak wyznaczyć wektor \(\displaystyle{ \vec{AB}}\) :p
Bo z iloczynu skalarnego \(\displaystyle{ \vec{AB}\circ\vec{V}=0}\) gdzie V jest wektorem kierunkowym prostej l. Wychodzi mi wyrażenie: \(\displaystyle{ x_{B}-y_{B}+z_{B}=4}\) co do niczego nie prowadzi.

Nie rozumiem w jaki sposób wyznaczyłeś wektor \(\displaystyle{ \vec{AB}=\left[ t-1, -t, t+1\right]}\)
Phobos71
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 72
Rejestracja: 4 mar 2012, o 15:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 8 razy

Oblicz odległóść punktu od danej prostej.

Post autor: Phobos71 »

Spójrz, masz podaną prostą w postaci parametrycznej, z ktorej łatwo można odczytać współrzędne punktów należacych do tej prostej.
\(\displaystyle{ l :\left\{ \begin{aligned}x=t+2 \\ y=-t-1\\z=t+1 \end{aligned} \right}\)
Punkt \(\displaystyle{ B}\) leżacy na tej prostej na pewno ma współrzędne \(\displaystyle{ B=\left[ x, y, z\right]}\) czyli podstawiając z równania prostej \(\displaystyle{ l}\): \(\displaystyle{ B=\left[ t+2, -t-1, t+1\right]}\). Wektor \(\displaystyle{ \vec{AB}}\) otrzymujemy przez odjęcie współrzędnych punktu \(\displaystyle{ B}\) od współrzędnych punktu \(\displaystyle{ A}\): \(\displaystyle{ \vec{AB}=\left[ t+2-3, -t-1-(-1), t+1-0\right]}\)
Xender
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 9 gru 2008, o 18:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 2 razy

Oblicz odległóść punktu od danej prostej.

Post autor: Xender »

Teraz rozumiem dziękuję
Przy okazji zapytam, jak chce wyznaczyć równanie płaszczyzny prostopadłej do prostej, to wtedy wektor kierunkowy prostej jest wektorem normalnym płaszczyzny - czyli w równaniu parametrycznym prostej są to współczynniki przy parametrze t?
ODPOWIEDZ