Równanie prostych prostopadłych do płaszczyzny.

[gugusiia]

Proszę o pomoc w zadaniu:
Prosta \(\displaystyle{ l_{1}}\) przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ A=(-3,2,5)}\) i jest prostopadła do płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi _{1}}\) o równaniu \(\displaystyle{ 4x+y-3z+13=0}\). Prosta \(\displaystyle{ l_{2}}\) przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ A=(-3,2,5)}\) i jest prostopadła do płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi _{2}}\) o równaniu \(\displaystyle{ x-2y+z-11=0}\).
a) Napisać równania prostych \(\displaystyle{ l_{1}}\) i \(\displaystyle{ l_{2}}\)
b) Znaleźć równanie płaszczyzny na której znajdują się proste \(\displaystyle{ l_{1}}\) i \(\displaystyle{ l_{2}}\).
Proszę o wyjaśnienie jak to zrobić krok po kroku.

[Phobos71]

a)
wektor prospotadły do płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi _{1}}\) to wektor \(\displaystyle{ \vec{n}=\left[ 4, 1, -3\right]}\). Z treści wynika, że wektor \(\displaystyle{ \vec{n}}\) jest równoległy do prostej \(\displaystyle{ l _{1}}\). Mamy więc wszystko, żeby napisać równanie prostej.
\(\displaystyle{ l _{1}: \frac{x-(-3)}{4} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-5}{-3}}\)
analogicznie postępujesz z prostą \(\displaystyle{ l _{2}}\)


b)
gdy będziesz znał przepisy prostych \(\displaystyle{ l _{1}}\) i \(\displaystyle{ l _{2}}\), korzystasz z parametrycznego równania płaszczyzny:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=x _{0} + v _{x} \cdot t + u _{x} \cdot s \\
y=y _{0} + v _{y} \cdot t + u _{y} \cdot s \\
z=z _{0} + v _{z} \cdot t + u _{z} \cdot s \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ t, s \in R}\)

gdzie:
\(\displaystyle{ A=(x _{0}, y _{0}, z _{0})}\), w tym przypadku \(\displaystyle{ A=(-3,2,5)}\)
wektory \(\displaystyle{ \vec{v}}\) i \(\displaystyle{ \vec{u}}\), to wektory kierunkowe prostych \(\displaystyle{ l _{1}}\) i \(\displaystyle{ l _{2}}\), w tym przypadku \(\displaystyle{ \vec{v}=\vec{n}=\left[ 4, 1, -3\right]}\)

[gugusiia]

Czy wektorem prostopadłym do płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi _{2}}\) będzie wektor \(\displaystyle{ \vec{m} =[1,-2,1]}\)?

[Marcin_92]

Czy wektorem prostopadłym do płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi _{2}}\) będzie wektor \(\displaystyle{ \vec{m} =[1,-2,1]}\)?

Tak.