Znajdź odległość między prostymi

[CKczm]

Witam szanowne gremium ludzi reprezentujących polską myśl techniczną:) Mam problem z takim o to zadaniem z geometrii analitycznej:

Znajdź odległość między prostymi
\(\displaystyle{ L_1: x=3+t, y=1-t, z=2+2t \\
L_2: x=-t, y=2+3t, z=3t}\)

Korzystałem z pomocy udzielonej w tym poradniku (zadanie VII) i oto moje wypociny:

1) Odczytuje wektory kierunkowe podanych prostych:

\(\displaystyle{ {U_{L_1}= \left[ 1,-1,2 \right]}\)
\(\displaystyle{ {U_{L_2}= \left[ -1,3,3 \right]}\)

Wektory nie są równoległe więc przecinają się lub są zwichrowane.

Odczytuje dowolne punkty \(\displaystyle{ P_1, P_2}\) należące odpowiednio do prostych \(\displaystyle{ L_1}\) i \(\displaystyle{ L_2}\):

\(\displaystyle{ P_{1}= \left( -3,1,-1 \right)}\)
\(\displaystyle{ P_{2}= \left( 0,- \frac{2}{3} ,0 \right)}\)

Buduje macierz, której pierwszym wierszem jest wektor \(\displaystyle{ \vec{P_1P_2}= \left[ 0- \left( -3 \right) ,- \frac{2}{3}-1,0- \left( -1 \right) \right] = \left[ 3,- \frac{5}{3},1 \right]}\) a pozostałymi dwoma wierszami są wektory kierunkowe rozważanych prostych, i obliczam jej wyznacznik:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3&- \frac{5}{3} &1\\1&-1&2\\-1&3&3\end{bmatrix}\right|=-16 \frac{2}{3}\neq 0}\)

Wyznacznik macierzy jest różny od zera, co oznacza, że proste są zwichrowane. Zatem staram się znaleźć płaszczyznę równoległą do obu tych prostych i zawierającą prostą \(\displaystyle{ l}\). Jej wektor normalny obliczam jako:

\(\displaystyle{ \vec{N}=\vec{U_{L_1}} \times \vec{U_{L_2}}= \left[ -9,5,2 \right]}\)

Do szukanej płaszczyzny należy \(\displaystyle{ P_2}\), w związku z czym możemy zapisać równanie szukanej płaszczyzny jako:

\(\displaystyle{ -9 \left( x-0 \right) + 5 \left( y+ \frac{2}{3} +2 \left( z-0 \right) =-9x+5y+2z+ \frac{10}{3} =0}\)

Dalej powinienem znaleźć szukaną odległość między prostymi jako odległość dowolnego z punktów prostej \(\displaystyle{ L_1}\) (np. \(\displaystyle{ P_1}\)) od wyznaczonej płaszczyzny ale nie do końca jestem pewien swoich obliczeń i sposobu użycia wzoru na obliczenie odległości do punktu do płaszczyzny. Czy ktoś mógłby mi pomóc w tych obliczeniach? Dla wprawnego matematyka to zapewne sprawa krótka i banalna, dlatego liczę na dobrą duszę która mnie oświeci:)

[octahedron]

\(\displaystyle{ \vec{u}_1=[1,-1,2]\\
\vec{u}_2=[-1,3,3]\\
\vec{u}_1\nparallel\vec{u}_2\\
P_1=L_1(0)=(3,1,2)\\
P_2=L_2(0)=(0,2,0)\\
\vec{n}=\vec{u}_1\times\vec{u}_2=\begin{bmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&-1&2\\-1&3&3\end{bmatrix}=[-9,-5,2]\\
d=\frac{\left| \vec{n}\cdot\vec{P_2P_1}\right| }{\left| \vec{n}\right| }=\frac{\left| [-9,-5,2]\cdot[3,-1,2]\right| }{\sqrt{9^2+5^2+2^2}}=\frac{18}{\sqrt{110}}}\)

[CKczm]

Dzięki wielkie Octahedron!