Kiedy prosta leży w płaszczyźnie?

[forgottenhopes]

Dla jakiej wartości parametru \(\displaystyle{ a}\) prosta \(\displaystyle{ l}\) leży w płaszczyźnie \(\displaystyle{ \pi}\)?
\(\displaystyle{ l: \frac{x}{1} = \frac{y}{a} = \frac{(z-2)}{-1}}\)

\(\displaystyle{ \pi: 3a ^{2} x + ay + z - 4a = 0}\)

Jak zabrać się za takie zadanie?

[lukasz1804]

Zauważ, że wobec równania prostej dla każdego \(\displaystyle{ t}\) mamy \(\displaystyle{ x=t, y=at, z=2-t}\). Skoro prosta ma leżeć na płaszczyźnie, to po podstawieniu współrzędnych dowolnego punktu na prostej do równania płaszczyzny musi zachodzić tożsamość: równanie \(\displaystyle{ 3a^2t+a^2t+2-t-4a=0}\), tj. \(\displaystyle{ (4a^2-1)t+2-4a=0}\) ma być spełnione tożsamościowo, czyli dla każdego \(\displaystyle{ t}\). Z równości wielomianów wynika, że \(\displaystyle{ 4a^2-1=0, 2-4a=0}\).

[forgottenhopes]

W takim razie jak określić \(\displaystyle{ a}\) by prosta \(\displaystyle{ l}\) przecinała płaszczyznę \(\displaystyle{ \pi}\)?

[lukasz1804]

Podobnie, z jedyną różnicą iż równanie \(\displaystyle{ (4a^2-1)t+2-4a=0}\) z niewiadomą \(\displaystyle{ t}\) musi mieć dokładnie jedno rozwiązanie. Zatem \(\displaystyle{ 4a^2-1\ne 0}\).

[forgottenhopes]

Dziękuję za wyjaśnienie