Wyznaczanie współrzędnych wektora

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
Kubeush
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 21 maja 2012, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 9 razy

Wyznaczanie współrzędnych wektora

Post autor: Kubeush »

Witam,
Mam takie zadanka, ale niestety przy obecnej szkole matma sprawia mi duże problemy i nie nadążam, proszę pomóżcie mi!

Treść:
Wyznacz współrzędne wekotra \(\displaystyle{ \vec{v}}\) o długości \(\displaystyle{ \sqrt{10}}\)
a) równoległego do \(\displaystyle{ \vec{u} = [-3,4]}\)
b) prostopadłego do \(\displaystyle{ \vec{u} = [2,1]}\)

Z góry dzięki
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Wyznaczanie współrzędnych wektora

Post autor: Dasio11 »

Wektory \(\displaystyle{ [a_1, a_2]}\) i \(\displaystyle{ [b_1, b_2]}\) są równoległe, gdy

\(\displaystyle{ a_1b_2 - a_2b_1 = 0,}\)

a prostopadłe, gdy

\(\displaystyle{ a_1 b_1 + a_2 b_2 = 0.}\)

Wektor \(\displaystyle{ \vec v = [a_1, a_2]}\) ma długość \(\displaystyle{ | \vec v | = \sqrt{a_1^2+a_2^2}.}\) Dlatego jeśli ma mieć długość \(\displaystyle{ \sqrt{10}}\) i być równoległy do \(\displaystyle{ [-3, 4],}\) to musi być spełniony układ

\(\displaystyle{ \begin{cases} 4a_1 + 3a_2 = 0 \\ a_1^2 + a_2^2 = 10 \end{cases}.}\)

Rozwiązanie go da odpowiedź. Podobnie można rozwiązać drugi przykład.

Można też zauważyć, że wektor \(\displaystyle{ \vec v}\) jest równoległy do wektora \(\displaystyle{ [-3, 4],}\) gdy

\(\displaystyle{ \vec v = [-3t, 4t]}\) dla pewnego \(\displaystyle{ t \in \mathbb R.}\)

Wtedy długość takiego wektora to \(\displaystyle{ \sqrt{(-3t)^2 + (4t)^2},}\) i z przyrównania tego wyrażenia do \(\displaystyle{ \sqrt{10}}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ t}\) i stąd znamy \(\displaystyle{ \vec v.}\) Podobna metoda działa dla drugiego przykładu.
Kubeush
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 21 maja 2012, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 9 razy

Wyznaczanie współrzędnych wektora

Post autor: Kubeush »

Czyli:
a) [-1,89;2,52]
b) [-1,82;3,64]
Takie będą współrzędne?
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Wyznaczanie współrzędnych wektora

Post autor: Dasio11 »

a) Przypuszczalnie dobrze ci wyszło, ale nie powinieneś zaokrąglać wyników. Poza tym, warunki spełniają dwa przeciwne wektory. Odpowiedź to:

\(\displaystyle{ \left[ -\frac{3 \sqrt{10}}{5}, \frac{4 \sqrt{10}}{5} \right]}\) oraz \(\displaystyle{ \left[ \frac{3 \sqrt{10}}{5}, -\frac{4 \sqrt{10}}{5} \right].}\)

b) Źle. Tu też wyjdą dwa wektory.
ODPOWIEDZ