Okrąg wpisany w romb.

[gugusiia]

Proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania:
Oblicz promień okręgu wpisanego w romb, którego wierzchołkami są wierzchołki elipsy o równaniu
\(\displaystyle{ 16 x^{2} +9 y^{2} =144}\).

[Lbubsazob]

\(\displaystyle{ 16x^2+9y^2=144}\) można przekształcić do postaci \(\displaystyle{ \frac{x^2}{9}+ \frac{y^2}{16}=1}\), więc mamy romb o wierzchołkach \(\displaystyle{ (-3,0),(3,0),(0,4),(0,-4)}\). Z Pitagorasa można wyliczyć, że bok rombu ma długość \(\displaystyle{ 5}\). Mamy znaleźć promień okręgu wpisanego, czyli wysokość jednego z 4 trójkątów, z których składa się romb, padającą na bok. Można to zrobić porównując pola trójkątów, czyli
\(\displaystyle{ \frac{3 \cdot 4}{2}= \frac{5 \cdot x}{2} \Rightarrow x=\frac{12}{5}}\)

[gugusiia]

Skąd wiadomo jakie są współrzędne wierzchołków rombu?

[Lbubsazob]

Z równania elipsy.
Jeżeli elipsa ma równanie \(\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2}=1}\), to przechodzi przez punkty \(\displaystyle{ (a,0),(-a,0)}\) oraz \(\displaystyle{ (0,b),(0,-b)}\).