Rownanie plaszczyzny

[stoper11]

Dane są dwa punkty \(\displaystyle{ A=(1,-5,4)}\) i \(\displaystyle{ B=(-4,3,7)}\). Znalezc rownanie plaszczyzny przechodzacej przez punkt \(\displaystyle{ A}\) i prostopadłej do wektora \(\displaystyle{ \vec{AB}}\)
Pytam tylko czy dobrze rozumuje jesli nie prosilbym o podpowiedz.
a wiec \(\displaystyle{ \vec{AB}= (-5,8,3)}\)
Ma przechodzic przez punkt \(\displaystyle{ A}\) wiec bierzemy iloczyn wektorowy punktu \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ \vec{AB}}\)
\(\displaystyle{ (1,-5,4)x(-5,8,3)=47i -23j +33k}\).
Mamy plaszczyzne \(\displaystyle{ 47X-23Y+33Z+D=0}\) Skoro przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ A}\) do podstawiamy pod \(\displaystyle{ x,y,z}\) punkt \(\displaystyle{ (1,-5,4)}\) i wyliczamy \(\displaystyle{ D}\).
Zgadza sie czy gdzies jest bład?

[szw1710]

Jak możesz mnożyć wektorowo punkty???

Rozwiązanie jest trywialne i wymaga 3 sekund na współrzędne wektora \(\displaystyle{ AB.}\) Mianowicie mamy dla wektora prostopadłego \(\displaystyle{ (a,b,c)}\) oraz punktu \(\displaystyle{ P(x_P,y_P,z_P)}\) równanie płaszczyzny przechodzącej przez \(\displaystyle{ P}\) i prostopadłej do tego wektora w postaci:

\(\displaystyle{ a(x-x_P)+b(y-y_P)+c(z-z_P)=0.}\)

To wyraża wszystkie własności geometryczne na podstawie własności iloczynu skalarnego.

[stoper11]

Przy okazji jeszcze jedno dot tego samego.
Znalezc ogolne rownanie plaszczyzny przechodzacej przez punkt \(\displaystyle{ A=(-2,1,4)}\) i rownoleglej do wektorow \(\displaystyle{ \vec{a}=[-1,3,2], \vec{b} =[3,2,5]}\)
tutaj trzeba na poczatek dac iloczyn wektorowy \(\displaystyle{ \vec{a} , \vec{b}}\) co da nam wektor prostopadly a nastepnie jeszcze jeden iloczyn wektorowy tym razem tego wyliczonego wektora prostopadlego i punktu \(\displaystyle{ A=[-2,1,4]}\)
Dobrze mysle?-- 12 wrz 2012, o 21:57 --No tak, masz racje. Wektor prostopadly to wektor normalny plaszczyzny czyli jak mam juz ten wektor to mam A B i C do ogolnego rownania plaszczyzny dobrze mysle?

[szw1710]

Tak. W tym drugim przypadku mamy \(\displaystyle{ n=a\times b.}\) I wystarczy tylko jeden punkt \(\displaystyle{ A.}\)

[stoper11]

Ok rozumiem. Dzieki Ci wielkie jeszcze raz