Dlugosc wektora

[stoper11]

Mam problem z zadaniem
Znaleźc długośc wektora \(\displaystyle{ \vec{a} =5 \vec{p} -4 \vec{q}}\) jezeli wiadomo, ze \(\displaystyle{ \left| \vec{p} \right| =2, \left| \vec{q} \right| =5}\) oraz kąt \(\displaystyle{ (\vec{p} , \vec{q} )=\frac23 \pi}\)

[szw1710]

Narysuj to sobie i skorzystaj z odpowiedniego trójkąta wraz z twierdzeniem cosinusów.

[stoper11]

A jest sposob zeby skorzystac z rachunku wektorowego? Bo twierdzenie cosinusow uzywalismy na geometri a tu mam na analityczna

[szw1710]

A masz współrzędne? Można by je wprowadzić np. biorąc \(\displaystyle{ \vec{p}=[2,0]}\) i wyliczając (znając kąt) współrzędna wektora \(\displaystyle{ \vec{q},}\) ale to bardzo dziwny sposób rozwiązywania. Można też skorzystać z liczb zespolonych i mam wrażenie, że wtedy dokładne współrzędne nie byłyby potrzebne, ale tu o naturze liczb zespolonych trzeba trochę wiedzieć. Więc nie polecam. Szkoda jechać do Gdyni przez Warszawę (z Gdańska jesteś, jak mówisz )

[stoper11]

No masz racje. W koncu kazde rozumowanie doprowadzajace do dobrego wyniku jest dobre. dzieki za pomoc

[szw1710]

Ścieląc łóżko wpadłem na sposób z wykorzystaniem iloczynu skalarnego i jego własności. Możesz obliczyć łatwo iloczyn \(\displaystyle{ \vec{p}\circ\vec{q}}\) i zauważ, że \(\displaystyle{ \vec{a}\circ\vec{a}=|a|^2.}\) Czy to wystarczy, czy Ci rozpisać? To chyba jest ten prostszy sposób, o który pytałeś.

Rozpiszę, pomijam strzałki.

Mamy \(\displaystyle{ p\circ p=|p|^2=4,\;q\circ q=|q|^2=25,\;\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}}\)

Na iloczynach skalarnych liczymy jak na wyrażeniach algebraicznych.

\(\displaystyle{ |5p-4q|^2=(5p-4q)\circ(5p-4q)=25|p|^2-2\cdot 20 p\circ q+16|q|^2=\\
=25\cdot 4-40\cdot 2\cdot 5\cdot\frac{1}{2}+16\cdot 25=300}\)

A więc długość naszego wektora to \(\displaystyle{ \sqrt{300}=10\sqrt{3}}\)

Czy tak? Chyba, że się w szybkich rachunkach pomyliłem.

Czy widzisz identyczne rachunki, jak przy wykorzystaniu tw. cosinusów? Nieprzypadkowo. Twierdzenie to można udowodnić na iloczynach skalarnych w identyczny sposób. Spróbuj.

Zwiewam do usypiania dzieci

[stoper11]

Dzieki wielkie. Dokladnie tyle samo mi wychodzilo z tw cosinusow. Ale na Geometrie Analityczna ten bedzie odpowiedniejszy. Dzieki jeszcze raz

[tomek3001]

\(\displaystyle{ \cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}}\)
.
.
.
Na iloczynach skalarnych liczymy jak na wyrażeniach algebraicznych.

\(\displaystyle{ |5p-4q|^2=(5p-4q)\circ(5p-4q)=25|p|^2-2\cdot 20 p\circ q+16|q|^2=\\
=25\cdot 4-40\cdot 2\cdot 5\cdot\frac{1}{2}+16\cdot 25=300}\)

Gdzie zniknął ten minus z cosinusa?

[Andrea]

No właśnie uciekł minus przy \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\). A więc będzie to \(\displaystyle{ \sqrt{700}}\)