Zależność między wektorami

[Kanodelo]

\(\displaystyle{ \vec{c},\vec{d}}\)są wektorami jednostkowymi równoległymi do \(\displaystyle{ \vec{a},\vec{b}}\), wektory \(\displaystyle{ \vec{c},\vec{d}}\) są równe
z czego wynika że \(\displaystyle{ \vec{c}= \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}}\)?

[szw1710]

Bo \(\displaystyle{ \vec{c}}\) jest wektorem jednostkowym Zauważ, że wektor \(\displaystyle{ \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}}\) ma długość jednostkową, ten sam zwrot i kierunek co i \(\displaystyle{ \vec{a}}\). Skoro te same własności ma i wektor \(\displaystyle{ \vec{c},}\) to sprawa załatwiona.

Z normowania wektora bardzo często korzysta się w analizie funkcjonalnej. Np. przy liczeniu norm operatorów liniowych. Ciągły operator liniowy jest ograniczony, a norma to jego najmniejsze ograniczenie. Mamy zawsze dla operatora liniowego \(\displaystyle{ T}\), że \(\displaystyle{ \|T(x)\|\le M\|x\|}\) dla pewnej stałej \(\displaystyle{ M.}\) Oznacza to, że

\(\displaystyle{ \left\|T\left(\frac{x}{\|x\|}\right)\right\|\le M}\)

czyli \(\displaystyle{ \|T(u)\|\le M}\) dla \(\displaystyle{ \|u\|=1.}\) W oparciu o tę obserwację definiuje się normę operatora liniowego.